質問＜１９１＞９９／１１／２
from=かっち
「複素数問題」

こんにちは！！「かっち」です。
お久しぶりです。先日はどうもありがとうございました。
今日も分からない問題があったので、
力になっていただけないかとメールしました。
問題と言うのは、複素数平面の問題なんですが...
（複素数が苦手なもので...）

問題　：　複素数平面上の異なる２点Ｚ１、Ｚ２に対して、
Ｚ＝ａＺ１＋ｂＺ２を考える。
　ただし、a≧０（aは０以上）、b≧０（bは０以上）とする。

（１）ａ＋ｂ＝１とし、
ＩＺ１Ｉ（Ｚ１の大きさ）＝２√３（２ルート３）、
ＩＺ２Ｉ（Ｚ２の大きさ）＝√６（ルート６）、
ａｒｇＺ１／Ｚ２＝４５゜（４５度）とする。
このとき、点Ｚが動いてできる図形の長さＬを求めよ。

（２）Ｚ１、Ｚ２が（１）の条件を満たすとする。
２≦ａ＋ｂ≦３（ａ＋ｂが２以上３以下）のとき、
点Ｚが動いてできる図形の面積Ｓを求めよ。

（３）Ｚ１、Ｚ２はＺ１＝－２＋２ｉ、
ｌＺ２－２ｉＩ（Ｚ２－２ｉの大きさ）＝１を満たすとする。
ａ＋ｂ＝１のとき、複素数Ｚの偏角の最大値および最小値を
求めよ。

あと、ヒントがついていたのでよかったら、参考にしてくだ
さい。

ヒント　：　Ａ（Ｚ１）、Ｂ（Ｚ２）、Ｐ（Ｚ）とする。
（１）はベクトルＯＰ＝ａベクトルＯＡ＋ｂベクトルＯＢと
おき、ａ＋ｂ＝１、ａ≧０、ｂ≧０。

どうかよろしくお願いします。
（できれば、なるべく詳しくお願いします。）

お返事９９／１１／３
from=武田

（１）
ｚ＝ａｚ1＋ｂｚ2　において、ａ＋ｂ＝１とは、
ａ＝１，ｂ＝０のとき、ｚ＝ｚ1
ａ＝０，ｂ＝１のとき、ｚ＝ｚ2
ａ＝1/4，ｂ＝3/4のとき、ｚ＝（1ｚ1＋3ｚ2）／４
上の３つより、ａ＋ｂ＝１とは、ｚ1とｚ2を結んだ線
上にｚがあることを示している。
また、
arg(ｚ1/ｚ2)＝arg(ｚ1)－arg(ｚ2)
　　　　　　＝ｚ1の偏角－ｚ2の偏角
　　　　　　＝４５°

図より、三角比の余弦定理を使って、長さＬを求めると、
Ｌ2＝（２√３）2＋（√６）2－２・２√３・√６cos４５°
　　＝１２＋６－１２＝６
Ｌ＞０より、
∴Ｌ＝√６

（２）
２≦ａ＋ｂ≦３とは、ａ＋ｂ＝２からａ＋ｂ＝３までの間だ
から図形は図のようになる。

この図形の面積Ｓは、△ＥＯＦの面積Ｓ1から△ＣＯＤの面積
Ｓ2を引いたものだから、三角形の面積を三角比の面積の公式
Ｓ＝1/2・ａ・ｂ・sinθ（ただし、θは辺ａと辺ｂの間の角）
を利用して解くと、
Ｓ＝Ｓ1－Ｓ2
　＝1/2・6√3・3√6・sin45°－1/2・4√3・2√6・sin45°
　＝２７－１２＝１５
∴Ｓ＝１５

（３）
ｌＺ２－２ｉＩ＝１は、ｚ2が中心２ｉ、半径１の円上にある
ことを示しているから、

図のように、ｚ1とｚ2を結んだ線上で、
ｚの偏角が一番小さくなるのは、点Ｂのところに来たときだ
が、特に図の点Ｂ1のところが最小となる。
これは原点Ｏから円に引いた接線（偏角が最小となる）の接
点のところであるから、△Ｂ1ＣＯが直角三角形
となり、Ｂ1Ｃ＝１、ＣＯ＝２より、角度は３０°
となる。ｚの偏角の最小値は、θ＝９０°－３０°＝６０°
また、ｚの偏角が一番大きいのは、点Ａのときだから、ｚの
偏角の最大値は、ｚ1の偏角と同じだから、
θ＝１８０°－４５°＝１３５°