質問＜１８９２＞２００４／８／２４
from=祥
「複素数平面」

恐縮ですがさらにお願い致します。

こちらもできるだけ複数の回答を知りたいので
別解も御教授頂けると嬉しいです。

問　複素数z=x+yi(x,yは実数)を
　　z+z分の1が実数となるように動かすとき
　　x^(2)y+4y^3の最大値を求めよ

どうぞよろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００４／８／２７
from=wakky

1/zが定義されるのだからz≠0
つまり、x^2+y^2≠0（|z|≠0だから）

z+(1/z)=(x+yi)+(x-yi)/(x^2+y^2)
={1/(x^2+y^2)}{x(x^2+y^2+1)+y(x^2+y^2-1)i}
これが実数値をとるのだから、虚部＝０
つまり y(x^2+y^2-1)=0 より
y=0 または　x^2+y^2=1

y=0のときx^2y+4y^3=0

x^2+y^2=1のとき
x=cosθ　y=sinθ　とおけて
x^2y+4y^3=sinθ(3sin^2θ+1)≦4
※sinθ=t とおくと　-1≦t≦1
　微分すると単調増加であることが分かります。
　つまりt=sinθ=1の時最大
よって最大値は４