質問＜１８３１＞２００４／８／１
from=Ｔｒｅｅ
「院試問題」

初めまして。
解答の無い院試問題に悩んでおります。
微積分学の問題で、２問よろしくお願いします。

①sinxy=1/3　の時、d^2y/dx^2　の値は？

②積分　∫1/(x^2+a)dx　の値は？（ａは定数）

高校数学の問題ではないのですが、宜しくお願いします。

お便り２００４／８／３
from=UnderBird

from UnderBird

1問目は、強引にxy=arcsin(1/3)より、y={arcsin(1/3)}/xを2階微分しても
求められますが、
陰関数の微分を用いることを求めているとおもわれるので
F(x,y)=sin(xy)-1/3のとき
dy/dx=y'=-F_x/F_y
d^2y/dx^2=y''=-{F_xx+2(F_xy)y'+(F_yy)(y')^2}/F_y
より、y''=2y/x^2

2問目は、a＜0のときとa≧0の場合に分けて考える。
a＜0のとき、∫1/(x^2+a) dx=(1/2√(-a))∫1/{(x-√(-a))-1/(x+√(-a))
                          =(1/2√(-a))log|{x-√(-a)}/{x+√(-a)}|
a≧0のとき、∫1/(x^2+a) dx=∫1/(x^2+(√a)^2) dx
                          =(1/√a)arctan(x/√a)