質問

∠BAC＝４５°である△ABCにおいて、 
AP＝１、∠BAP＝１５°を満たす辺BC上の点Pが存在するとき、
次の問いに答えよ。
（１）sin∠BAPの値を求めよ。
（２）∠APC＝θとするとき、θのとりうる値の範囲を求めよ。
（３）△ABCの面積をＳとするとき、１/Ｓをθを用いて表せ。
（４）Ｓを最小にするθの値を求めよ。また、そのときのＳの値を求めよ。

お便り２００４／５／３
from=wakky

(1)
これは加法定理でいいでしょう

sin∠BAP=sin15°=sin(60°-45°)
=(√6-√2)/4

(2)
△ＡＢＰと△ＡＰＣが三角形になりうるθの範囲を考えればいかな？
それぞれが同時に満たされるθの範囲は

15°＜θ＜150°  でしょうか？

(3)
これがまだ解けていません・・・
どなたかお力を・・・

お便り２００４／５／８
from=下野哲史

(1),(2) は wakkyさんと同様。

(3)
AB=a, AC=b とおくと
△ABPで正弦定理を用いて
　a/sin(180-t)=1/sin(t-15)
△ACPで正弦定理を用いて
　b/sin t=1/sin(150-t)
これより
1/ab=sin(t-15)sin(150-5)/sin(180-t)sin t
    =sin(t-15)sin(t+30)/sin^2t
S=1/2 ab sin45 =ab/2√2 より
1/S=2√2/ab=2√2sin(t-15)sin(t+30)/sin^2t

(4)
S を最小にするのは 1/S が最大のとき
1/S=2√2/sin^2t × (sintcos15-costsin15)(sintcos30+costsin30)
=…=√2/4 × {-(√6-√2)(tan t-1)^2+2√2+2√6}
15＜t＜150 より
1/S は　tan t=1 のとき最大となるから
S の最小値は t=45 のとき
4/√2(2√２＋２√6)=(√3-1)/2 である。

よいもんだいですね。
出典をしりたいので、
是非教えて下さい。

お便り２００４／５／９
from=BossF

角度の単位「°」を省略します

(1)
wakkyさんのおっしゃる加法定理もいいですが
∠A=30,∠B=∠R,BC=1 の直角三角形ABCを考え、
半直線BA上にDA=ACとなる点Dを取ると
DC=√2(√3+1),∠CDB=15 となり、この図から計算することもできます。
ただ、15度は有名角として覚えておいた方がいいかも…(^^;;
結局　sin15=1/{√2(√3+1)}=(√6-√2)/4…答

[この問題の場合、図からcot15=(2+√3)がすぐわかっ
　 て、ちょっと嬉しい(^^;;　,
ついでに cos15=(2+√3)/{√2(√3+1)}
=(√6+√2)/4 ]

(2)
△ABPの外角と見ると θ=B+15 で、0＜B＜135より
　　　　15＜θ＜150…答

(3)
まず∠B=θ-15,∠C=150-θ に注意します。
すると△ABPで正弦定理を用いて
　AB/sin(180-θ)=AP/sin(θ-15)

i.e.AB=sinθ/sin(θ-15)
∴1/AB=sin(θ-15)/sinθ
=(cos15sinθ-sin15cosθ)/sinθ
=cos15-sin15cotθ

同様に△ACPで正弦定理を用いて
1/AC=sin(150-θ)/sinθ
=sin(θ+30)/sinθ
=cos30+sin30cotθ
よって
　1/S=2/(AB・AC・sinA)
=2√2(cos15-sin15cotθ)(cos30+sin30cotθ)…答

(4)
1/Sをcotθの２次関数とみると、そのgraphの切片は
cotθ=cot15,-cot30 だから、
その中点cotθ={cot15+(-cot30)}/2={(2+√3)+(-√3)}/2=1 のとき、
1/SはMax 2√2(cos15-sin15)(cos30+sin30)
=2√2{(√6+√2)/4-(√6-√2)/4}(√3+1)/2
=√3+1　　　　　　注*

よってθ=45で　Smin=1/(√3+1)=(√3-1)/2…答

注*　普通の２次関数でx切片の中点のとこに頂点が来ま
　　すよね(^^;;