質問＜１６４９＞２００４／３／２６
from=mai
「不等式」

a,b,cが０以上の実数の時、次の不等式を証明せよ。
（１）2^a+2^b≦1+2^a+^b
（２）2^a+2^b+2^c≦2+2^a+^b+^c

お願いします。

お便り２００４／３／２９
from=下野哲史

+^b が意味分かりませんが、
きっとこういうことだろうと勝手に解釈をして解答します。

ポイントは x≧0 ならば 2^x≧1 であること。（指数関数のグラフより明らか）

(1) 2^a +2^b≦1+2^a 2^b 
　　　右辺-左辺 =2^a 2^b -2^a-2^b+1=(2^a-1)(2^b-1)≧ 0
　　　（等号成立は a=b=0)　　　
(2) 2^a+2^b+2^c≦2+2^a 2^b 2^c
　　　右辺-左辺 
　　　= (2^a-1)(2^b-1)(2^c-1)+(2^a 2^b + 2^b 2^c + 2^c 2^a )
　　　　　　　　-2(2^a+2^b+2^c)+3
　　　= (2^a-1)(2^b-1)(2^c-1)+(2^a 2^b-2^a-2^b+1)
　　　　　　　　+(a^b 2^c-2^b-2^c+1)+(2^c2^a-2^c-2^a+1)
      (1) より 
　　　(2^a 2^b-2^a-2^b+1) , (a^b 2^c-2^b-2^c+1) , (2^c2^a-2^c-2^a+1) 
　　　は 0　以上
　　　(2^a-1)(2^b-1)(2^c-1) も 0 以上であるため、与式は成り立つ。
　　　（等号成立は a=b=c=0 )