質問＜１６１１＞２００４／２／２５
from=小鉄
「ｎの階乗のとき」

ａ＞0, ｎ→∞のとき
ａ^n／ｎ!について教えてください

お便り２００４／２／２５
from=juin

a^n/n!->0(as n->Infinity)
証明　2a＜Nとなる自然数Nを１つ決める。
n>Nのとき、
a^n/n!=(a/1)(a/2)...(a/N-1)(a/N)...(a/n)
＜(a/1)(a/2)...(a/N-1)(1/2)(1/2)...(1/2)
=(a/1)(a/2)...(a/N-1)(1/2)^(n-N+1)
->0 (as n-> infinity)
終

お便り２００４／２／２６
from=こんにちは

a≧Mとなるような最大の自然数Mをとる
このときM≦a＜M+1である。

n＞Mなる自然数nに対して
0＜a^n/n!
＝(a^M/M！)*{a^(n-M)}/{(M+1)*…*n}
＜(a^M/M！)*{a/(M+1)}^(n-M)

n→∞とおくと
{a/(M+1)}^(n-M)→0
（0＜a/(M+1)＜1だから！）

よって
n→∞のとき
(a^M/M！)*{a/(M+1)}^(n-M)→0

したがって、はさみうちの原理より
n→∞のとき、a^n/n!→0
となります。