質問＜１６１＞９９／７／２８
from=ＣＦＵ
「基礎数学？」

最近解けそうで解けない問題によく出会います。
よろしくお願いします。

問題１．直角三角形ＡＢＣ（∠ＡＣＢ＝９０°）のＢＣ、ＣＡ
　　　　上に２辺を持ち、ＡＢ上に頂点のある正方形がある。
　　　　このとき、直角三角形ＡＢＣから正方形を引いた面積
　　　　と、正方形の面積の比をＡＢ、ＢＣ、ＣＡの長さを
　　　　用いて表せ。

問題２．Ｎ×Ｎ（Ｎは奇数）の桝目の中心を１として下のような
　　　　順で枡を埋める。このとき各対角線上の数の和をＡ、Ｂ
　　　　とするとき、Ａ－Ｂを求めよ。
　　　 ______________ 
　　　|↑|10|11|12|13|
　　　|↑|９|２|３|14|
　　　|↑|８|１|４|15|
　　　|↑|７|６|５|16|
　　　|21|20|19|18|17|
　　　~~~~~~~~~~~~~~~~

問題３．すべての実数ｘについて次の式が成り立つとき、整数
　　　　ａ、ｂ、ｃの値の組をすべて求めよ。
　　　　(ｘ－ａ)(ｘ－７７)＋５＝(ｘ－ｂ)(ｘ－ｃ）

お返事９９／７／２９
from=武田

問１

ＡＢ＝ｃ、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂとおく。
正方形の一辺をＤＥ＝ＤＦ＝ｘとすると、
△ＡＤＥと△ＤＢＦは相似なので、
ＡＥ：ＤＥ＝ＤＦ：ＢＦ
（ｂ－ｘ）：ｘ＝ｘ：（ａ－ｘ）
（ｂ－ｘ）（ａ－ｘ）＝ｘ2
ａｂ－（ａ＋ｂ）ｘ＋ｘ2＝ｘ2
ｘ＝ａｂ／（ａ＋ｂ）……①
△ＡＤＥと△ＤＢＦの面積は
Ｓ1＝（ｂ－ｘ）ｘ／２＋（ａ－ｘ）ｘ／２
正方形ＥＤＦＣの面積は
Ｓ2＝ｘ2
面積の比は
Ｓ1：Ｓ2＝｛（ｂ＋ａ）ｘ－２ｘ2｝／２：ｘ2
①を代入して、
Ｓ1：Ｓ2
＝ａｂ（ａ2＋ｂ2）／｛２（ａ＋ｂ）2｝：（ａｂ）2／（ａ＋ｂ）2
＝（ａ2＋ｂ2）／２：ａｂ
＝ｃ2／２：ａｂ
＝ｃ2：２ａｂ
したがって
Ｓ1：Ｓ2＝ＡＢ2：２ＢＣ・ＣＡ……（答）

問２
ｋ　　Ｎ×Ｎ　　Ａ－Ｂ
１　　３×３　　14－10＝４
２　　５×５　　42－34＝８
３　　７×７　　86－74＝12
したがって、
ｋ番目は(2k+1)×(2k+1)となり、Ａ－Ｂ＝４ｋとなるから、
Ｎ＝2k+1より、ｋ＝（Ｎ－１）／２
Ａ－Ｂ＝４ｋ＝４（Ｎ－１）／２＝２（Ｎ－１）
Ｎ×Ｎの桝目のとき、Ａ－Ｂ＝２（Ｎ－１）……（答）

問３
（ｘ－ａ）（ｘ－７７）＋５＝（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）
展開して、
ｘ2－(77+a)ｘ＋77a+5＝ｘ2－(b+c)ｘ＋bc
すべての実数ｘについて成り立つから、係数を見比べて、
７７＋ａ＝ｂ＋ｃ……①
７７ａ＋５＝ｂｃ……②
連立して、
①より、ａ＝ｂ＋ｃ－７７
②に代入して、
７７（ｂ＋ｃ－７７）＋５＝ｂｃ
７７ｂ－ｃｂ＝－５＋５９２９－７７ｃ
（７７－ｃ）ｂ＝－５＋５９２９－７７ｃ
ｂ＝（－５＋５９２９－７７ｃ）／（７７－ｃ）
　＝（－５）／（７７－ｃ）＋７７
ａ＝ｂ＋ｃ－７７
　＝（－５）／（７７－ｃ）＋７７＋ｃ－７７
　＝（－５）／（７７－ｃ）＋ｃ
ａ，ｂ，ｃが整数であるためには、（７７－ｃ）が５の約数
でなければならないので、７７－ｃ＝１または７７－ｃ＝５
ｃ＝７６または７２
ａ＝７１または７１
ｂ＝７２または７６
したがって、
（ａ，ｂ，ｃ）＝（７１，７２，７６）
　　　　　　　＝（７１，７６，７２）