質問＜１５９＞９９／７／１２
from=ＣＦＵ
「問１が難しいかな？」

はじめまして。
数学からかなり遠ざかっていたため、基本的な問題の
ような気がするのですがどうしても解けません。
手元に資料もないので困っています。
お答えいただければ幸いです。

問題１．対角線が直交する台形ＡＢＣＤにおいて、
　　　　ＢＤ＝ａ、高さｈとするとき、この台形の
　　　　面積を求めよ。

問題２．ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）の
　　　　解の公式を導け。

問題３．長軸が２ａ、短軸が２ｂの楕円の面積を求めよ。

問題４．ｘ＾２－ｙ＾２＝１（－２≦ｙ≦２）をｙ軸を
　　　　中心に回転させてできる図形の体積を求めよ。

お返事９９／７／１３
from=武田

問１

ＡＤ／／ＢＣより、∠ＡＤＨ＝∠ＣＢＨ＝θ
ＢＤ＝ａをＢＨとＤＨに分け、ＤＨ＝ｘとおくと、
ＢＨ＝ａ－ｘ
△ＡＤＨにおいて、ｃｏｓθ＝ＤＨ／ＡＤより、
ＡＤ＝ＤＨ／ｃｏｓθ
　　＝ｘ／ｃｏｓθ……(1)
△ＣＢＨにおいて、ｃｏｓθ＝ＢＨ／ＣＢより、
ＣＢ＝ＢＨ／ｃｏｓθ
　　＝（ａ－ｘ）／ｃｏｓθ……(2)
台形の面積は
Ｓ＝（上底＋下底）×高さ÷２
　＝（ＡＤ＋ＣＢ）×ｈ÷２
　＝ａｈ／（２ｃｏｓθ）……(3)

また、△ＤＢＥにおいて、
ｓｉｎθ＝ＤＥ／ＢＤ＝ｈ／ａ……(4)
ｓｉｎ2θ＋ｃｏｓ2θ＝１に(4)を代入
ｃｏｓθ＝√（ａ2－ｈ2）／ａ……(5)
(5)を(3)に代入すると、
Ｓ＝ａ2ｈ／｛２√（ａ2－ｈ2）｝……（答）

問２
平方完成を使って、解の公式を導くと、
ａ｛ｘ2＋（ｂ／ａ）ｘ＋（ｂ2／４ａ2）－（ｂ2／４ａ2）｝＋ｃ＝０
ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）2－（ｂ2／４ａ）＋ｃ＝０
ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）2－（ｂ2－４ａｃ）／４ａ＝０
ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）2＝（ｂ2－４ａｃ）／４ａ
（ｘ＋ｂ／２ａ）2＝（ｂ2－４ａｃ）／４ａ2
平方根を取って、
ｘ＋ｂ／２ａ＝±√（ｂ2－４ａｃ）／２ａ
ｘ＝－ｂ／２ａ±√（ｂ2－４ａｃ）／２ａ
　＝｛－ｂ±√（ｂ2－４ａｃ）｝／２ａ……（答）

問３

楕円の方程式
ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝１を変形して
ｙ＝±（ｂ／ａ）√（ａ2－ｘ2）

楕円の四半分の面積を定積分を用いて求め、４倍する。
Ｓ＝４∫0ａ（ｂ／ａ）√（ａ2－ｘ2）ｄｘ
ｘ＝ａｃｏｓθとおいて置換積分をする。
ｄｘ＝－ａｓｉｎθｄθ
ｘ：　０　→　ａ
θ：９０°→　０°
√（ａ2－ｘ2）＝ａｓｉｎθ
より、
Ｓ＝４ｂ／ａ∫π/20ａｓｉｎθ×（－ａｓｉｎθ）ｄθ
　＝４ｂ／ａ∫0π/2ａ2ｓｉｎ2θｄθ
　＝４ａｂ∫0π/2ｓｉｎ2θｄθ
　＝４ａｂ∫0π/2｛（１－ｃｏｓ２θ）／２｝ｄθ
　＝２ａｂ［θ－ｓｉｎ２θ／２］0π/2
　＝２ａｂ｛（π／２－０）－（０－０）｝
　＝πａｂ……（答）

問４

ｘ2－ｙ2＝１を変形して、
ｘ2＝ｙ2＋１
より、
ｙ＝－２から２までのｙ軸の回りの回転体の体積は
Ｖ＝２×π∫02ｘ2ｄｙ
　＝２π∫02（ｙ2＋１）ｄｙ
　＝２π［ｙ3／３＋ｙ］02
　＝２π｛（８／３＋２）－（０＋０）｝
　＝２π×１４／３
　＝（２８／３）π……（答）