質問＜１５８５＞２００４／２／１２
from=オースチン
「逆三角関数の積分」

０＜ｘ＜１のとき
∫（sin^-1 ｘ）^２　ｄｘ　
はどうなりますか。

お便り２００４／２／１３
from=こんにちは

置換積分

∫（sin^(-1)x）^2dx
y=sin^(-1)xとおくと
x=siny
dx=cosydy
∫（sin^(-1)x）^2dx＝∫(y^2*cosy)dy

部分積分

∫(y^2*cosy)dy＝∫{y^2*(siny)'}dy＝y^2siny－2∫ysinydy

∫ysinydy＝∫y(-cosy)'dy＝-ycosy+∫cosydy＝-ycosy+sinyだから

y^2siny－2∫ysinydy＝y^2siny+2ycosy-2siny


y=sin^(-1)xとおくと
y^2siny+2ycosy-2siny
＝x{sin^(-1)x}^2＋2{sin^(-1)x}cos{sin^(-1)x}-2x+C
Cは積分定数

となります。

お便り２００４／２／１３
from=juin

x=sin(t)とおく。dx=cos(t)dtだから、積分は
∫{sin^-1(sin(t))}^2*cos(t)dt
=∫t^2*cos(t)dt となるので、部分積分する。