質問＜１５２７＞２００３／１２／２０
from=しのやん
「命題の証明」

①ａ＜０のとき、ａ＋ａ分の１≦ー２を証明せよ。
また、等号成立はａについてどのような条件が必要か？

②ａ＋b分のa－b＝ｃ＋ｄ分のｃ－ｄ⇒ｂ分のａ＝ｄ分のｃを証明せよ。
ただし、ｂ≠０、ｄ≠０であるとする。

③３分のａ＋ｂ＋ｃ≧√３分のａｂ＋ｂｃ＋ｃａが成立することを証明せよ。

④ａ＞０、ｂ＞０、ｃ＞０かつabc＝２のとき、
（a＋b）(b＋c）(c＋a）≧１６が成立することを証明せよ

⑤｜a＋b｜≦｜a｜＋｜b｜が成立することを証明せよ。
また、等号成立にはa、bについてどんな条件が必要か？？

⑥｜a｜≦｜a－b｜＋｜b｜を証明せよ。

⑦a、bが正の数の時、a＋b分の２＋２a＋２bの最小値を求め、
その時のa、bについての条件式を書け。

⑧x＞１のとき、x＋xー１分の１の最小値を求めよ。

⑨x＞０のとき、x＋x分の１分の１の最大値を求めよ。

⑩｜a｜＜１、｜b｜＜１の時、次の不等式を証明せよ。
｜a－b｜＋｜a＋b｜＜２

お便り２００４／１／６
from=wakky

①b=-aとおけばb>0ですね。
bと1/bについて相加平均>=相乗平均を使えばb+1/b>=2。
両辺に-1をかけるとa+1/a＜=-2になります。
等号はa=-1のときですね。

②条件から(a+b)(c-d)=(a-b)(c+d)ですね。
展開して整理すると、ad=bcとなります。
つまりa/b=c/d

お便り２００４／１／７
from=wakky

③～⑩もあったんですねぇ。間違ってたらすみません（笑

③3(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)=3(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)
=2(a+b+c)^2+1/2[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]>=0

④相加平均と相乗平均の関係から
(a+b)(b+c)(c+a)>=2√ab×2√bc×2√ca=8(√abc)^2=16
(∵abc=2)

⑤|a+b|^2-(|a|+|b|)^2=2ab-2|ab|＜=0

⑥(|a|-|b|)^2-|a-b|^2=-2|ab|+2ab＜=0

⑦相加平均と相乗平均で
2/(a+b) + 2a+2b=2[1/(a+b) + (a+b)]>=2×2√(a+b)/(a+b)=4　∴最小値4
等号は1/(a+b)=(a+b)つまり(a+b)^2=1のとき

⑧x>1よりx-1>0 相加平均と相乗平均で
x + 1/(x-1) = (x-1) + 1/(x-1) + 1>=2√(x-1)/(x-1)+1=3　∴最小値3

⑨これも相加平均と相乗平均で
x + 1/x >=2 その逆数だから、最大値　1/2

⑩これはあまり自信がありませんが・・・
-1＜a＜b＜1のとき
-1＜a＜0＜b＜1かつ|a|＜|b|のとき・・・以下略・・で
場合分けするしかないのかなぁ・・・
なんかもっとエレガントにいけそうですが・・・