質問＜１５１＞９９／６／１８
from=Bugman
「点、曲線の回転移動」

はじめまして、お会いできてうれしいです。僕は一人で勉強
している者です。なので解説読んでもわからん問題にぶち当
たると困りはてます。よろしくお願いします。

原点Ｏ周りにθだけ回転すると、点、曲線は次のようになる。
証明せよ。

P(x,y)    -->  Q(xcosθ - ysinθ , xsinθ+ ycosθ)
F(x,y)=0  -->  F(xcosθ + ysinθ , -xsinθ+ ycosθ)=0

(証明)
OPとx軸の正方向とのなす角をAとし、Q（X,Y)とすると、
x＝OPcosA, y＝OPsinA ....（１） 　また、
X＝OQsin(θ+ A)＝OQ(cosθcosA - sinθsinA)
Y＝OQsin(θ+ A)＝OQ(sinθcosA + cosθsinA)
ゆえに、OP＝OQ　、（１）より cosA,sinA　を消去
X＝xcosθ - ysinθ  
Y＝xsinθ + ycosθ
Q(xcosθ- ysinθ , xsinθ + ycosθ)

点はわかるんですけど、次の曲線がさっぱりわかりません

曲線F(x,y)＝0上の点P(X,Y)を原点の周りにθだけ回転した点
をQ(x,y)とするとPはQを原点の周りに-θだけ回転した点であ
るから
X＝xcos(-θ) - ysin(-θ)＝xcosθ + ysinθ
Y＝xsin(-θ) + ycos(-θ)＝-xsinθ+ ycosθ
F(X,Y)＝0から   F(xcosθ + ysinθ , -xsinθ + ycosθ)=0
この証明でなぜ、最後の1行のような結論がでるのでしょうか？

お返事９９／６／１９
from=武田

曲線F(x,y)＝0上の点P(X,Y)を原点の周りにθだけ回転した点
をQ(x,y)とするとPはQを原点の周りに-θだけ回転した点であ
るから
X＝xcos(-θ) - ysin(-θ)＝xcosθ + ysinθ
Y＝xsin(-θ) + ycos(-θ)＝-xsinθ+ ycosθ
F(X,Y)＝0から   F(xcosθ + ysinθ , -xsinθ + ycosθ)=0

この説明の部分を次のように書き直してみよう。
曲線F(x,y)＝０を原点の周りにθだけ回転した曲線を局所座
標を利用して表すと、F(X,Y)＝０となる。
F(X,Y)＝０上の点ＱをXY局所座標でQ(X,Y)と表し、もとのxy
直角座標でQ(x,y)と表すとする。

図より、関係式
x＝Xcosθ－Ysinθ
y＝Xsinθ＋Ycosθ
がえられる。
これをX,Yについて変形して、
X＝xcosθ＋ysinθ
Y＝－xsinθ＋ycosθ
したがって、XY局所座標表示の曲線F(X,Y)＝０に代入すると、
xy直角座標表示の曲線となる。
F(xcosθ＋ysinθ ,－xsinθ＋ycosθ)＝０

したがって、もとの曲線F(x,y)＝０が原点の回りのθ回転し
てできた曲線の方程式が
F(xcosθ＋ysinθ ,－xsinθ＋ycosθ)＝０
となる。