質問＜１５０７＞２００３／１２／２
from=敏久
「点光源の影」

a,b,cを正の実数とする。
xyz空間において、|x|≦a,|y|≦b,z=c をみたす点(x,y,z)からなる
板Rを考える。
点光源Pが平面z=c+1上の楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1,z=c+1の上を1周する
とき、光が板Rにさえぎられてxy平面上にできる影の通過する部分の図
を描き、その面積を求めよ。

お返事２００４／１／６
from=武田

楕円の光源の座標を媒介変数θで表すと、
｛ｘ＝ａcosθ
｛ｙ＝ｂsinθ
｛ｚ＝ｃ＋１
点（ａ，ｂ，ｃ）の影は
点（a(c+1-c・cosθ），b(c+1-c・sinθ），０）
これを四隅で考えて、この影の点が描く図形は
｛ｘ＝a(c+1-c・cosθ）
｛ｙ＝b(c+1-c・sinθ）
θを消すように変形すると、
　ｘ－a(c+1)　　　　ｙ－b(c+1)
（―――――）^2＋（―――――）^2＝１
　　ａｃ　　　　　　　ｂｃ
中心が（a(c+1)，b(c+1)）で、長半径、短半径がａｃ，ｂｃの楕円となる。
これが四隅だから、影の作る図形は次のようになる。



面積を計算すると、

Ｓ＝４ａｂ（ｃ＋１）^2＋８ａｂｃ（ｃ＋１）＋ａｂｃ^2π
　＝ａｂ｛（１２＋π）ｃ^2＋１６ｃ＋４｝………（答）