質問＜１４７０＞２００３／１１／３
from=coco
「数学的帰納法」

すべての自然数について、次の式が成り立つことを、
数学的帰納法で証明せよ。

                                   n(n+1)(n+2)
1・2＋2・3＋・・・・＋ｎ（n＋1）＝-------------
                                       3
よろしくお願いします。

お便り２００３／１１／１１
from=下野哲史

（１）n=1 のときは 
　　　左辺=1・2=2、右辺=1・2・3/3=3 より成り立つ。

（２）n=k のとき成り立つと仮定すると、
                                      k(k+1)(k+2)
　　　1・2＋2・3＋・・・・＋k(k+1）＝-------------
                                          3
　　　両辺に (k+1)(k+2) を加え
                                                 k(k+1)(k+2)
　　　1・2＋2・3＋・・・・＋k(k+1）+(k+1)(k+2)＝------------- + (k+1)(k+2)
                                                      3

                                                 k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)
                                              ＝----------------------
                                                           3

                                                (k+1)(k+2)(k+3)
                                              ＝----------------
                                                       3

　　　よって、n=k+1 のときも成り立つ。

以上より、すべての n においてなりたつ。