質問＜１４４３＞２００３／１０／１１
from=Bee
「積分の問題」

関係式 f(x)＋x∫0～1｜f(t)｜dt=x^2を満たす関係式f(x)は
どうなりますか？？
（∫は下が０上が１です）

お便り２００３／１０／１５
from=phaos

f(x) = x^2 - x∫_0^1 |f(x)|dt
と書けるので
a = ∫_0^1 |f(x)|dt … (1)
と置く。すると
f(x) = x^2 - ax.
これを (1) に代入。
a = ∫_0^1 |t^2 - at|dt

a で場合分け。
i) a ＜ 0 の時
a = ∫_0^1 (t^2 - at)dt
= [t^3/3 - at^2/2]_0^1
= 1/3 - a/2
3a/2 = 1/3
a = 2/9 (＜ 0 ではないので不適)。

ii) 0 ≦ a ＜ 1 の時
a = -∫_0^a (t^2 - at)dt + ∫_a^1 (t^2 - at)dt
= -[t^3/3 - at^2/2]_0^a + [t^3/3 - at^2/2]_a^1
= -a^3/3 + a^3/2 + 1/3 - a/2 - a^3/3 + a^3/2
= a^3/3 - a/2 + 1/3
よって
2a^3 - 9a + 2 = 0
(a - 2)(2a^2 + 4a - 1) = 0
a = 2, (-2 ± √6)/2
0 ≦ a ＜ 1 より a = (-2 + √6)/2.

iii) a ≧ 1 の時
a = -∫_0^1 (t^2 - at)dt
= -1/3 + a/2
a/2 = -1/3
a = -2/3 (不適).

以上より a = = (-2 + √6)/2.

お便り２００３／１０／１６
from=T.Kobayashi

\int[0..1]|f(t)|dt=C と置くと、C>=0 である。このとき f(x)=x^2-Cx となる。
(i) 0<=C<1 のとき、
\int[0..1]|f(t)|dt=-\int[0..C]f(t)dt+\int[C..1]f(t)dt=C^3/3-C^2/2+1/3
となり、これがCに等しいことから、C^3/3-(3/2)C^2+1/3=0 で、
これを因数分解すると (C-2)(2C^2+4C-1)=0 となる。C=sqrt(6)/2-1 が適する。
(ii) C>=1 のとき、
\int[0..1]|f(t)|dt=-\int[0..1]f(t)dt=C/2-1/3 となり、
これがCと等しくなることはない。
以上より、C = sqrt(6)/2-1 ...(答)