質問＜１４０＞９９／５／５
from=坂田
「微分方程式と図形的意味」

ｙ’＝ｙ－ｘの解き方がわかりません。
あと、これの図形的意味も教えて下さい。

お返事９９／５／５
from=武田

一階線形微分方程式　dy/dx＋Ｐｙ＝Ｑ
の解法公式を使います。詳しくは大学の「微分積分学」の本
に載っています。

問の式はｙ’＝ｙ－ｘなので、
dy/dx－ｙ＝－ｘより、Ｐ＝－１、Ｑ＝－ｘ

公式
Ｑ≠０の場合
ｙ＝｛ｅ＾（－∫Ｐdx）｝｛∫（Ｑｅ＾（∫Ｐdx））dx＋Ｃ｝
より

∫Ｐdx＝∫(-1)dx＝－ｘ
∫（Ｑｅ＾（∫Ｐdx））dx＝∫（－ｘ）ｅ＾（－ｘ））dx
＝ｘｅ＾（－ｘ）－∫ｅ＾（－ｘ）dx
＝ｘｅ＾（－ｘ）＋ｅ＾（－ｘ）
したがって、
ｙ＝｛ｅ＾（－∫Ｐdx）｝｛∫（Ｑｅ＾（∫Ｐdx））dx＋Ｃ｝
　＝ｅ＾（ｘ）｛ｘｅ＾（－ｘ）＋ｅ＾（－ｘ）＋Ｃ｝
　＝ｘ＋１＋Ｃｅ＾（ｘ）……（答）
初期条件によりＣが決まる。

この微分方程式を、矢印を使って作図してみました。
この矢印の流れに沿って曲線群ができます。初期条件Ｃによ
って１本の曲線が決まります。Ｃ＝０のとき、ｙ＝ｘ＋１と
なります。

この作図は「n88互換basic for Windows95」のソフト上で行
いました。