質問＜１３８９＞２００３／９／９
from=きゆちゃん
「α位の無限小」

α＞０とする。lim(x→0)f(x)/x^α　が存在して０でないとき、
f(x)はｘ＝０でα位の無限小であると言う。
（１）f(x)がα位の、g(x)がβ位の無限小のとき、
　　　f(x)g(x)はα＋β位の無限小であることを示せ。

（２）f(x)がｎ回連続的微分可能で、
　　　f(0)=f'(0)=・・・=f(n-1)(0)=0、f(n)(0)≠0　とする。
　　　f(x)はｘ＝０でｎ位の無限小であることを示せ。

（３）次の関数はｘ＝０で何位の無限小か？
　　　(ア) sinx 　(イ) 1ーcosx　 (ウ) tanxーsinx

お返事２００３／９／１２
from=武田

（１）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｆ（ｘ）
ｆ（ｘ）はｘ＝０でα位の無限小より、ｌｉｍ　――――＝ａ≠０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ→０　　ｘ^α

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｇ（ｘ）
ｇ（ｘ）はｘ＝０でβ位の無限小より、ｌｉｍ　――――＝ｂ≠０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ→０　　ｘ^β

したがって、
　　　　ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）　　　　　ｆ（ｘ）　ｇ（ｘ）
ｌｉｍ　―――――――――＝ｌｉｍ　――――・――――
ｘ→０　　ｘ^(α＋β）　　　ｘ→０　　ｘ^α　　ｘ^β


＝ａ・ｂ≠０
したがって、ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）はｘ＝０で（α＋β）位の無限小となる。

（２）
ロピタルの定理より、
　　　　ｆ（ｘ）　　　　　　ｆ´（ｘ）
ｌｉｍ　――――＝ｌｉｍ　―――――――
ｘ→０　　ｘ^ｎ　　ｘ→０　ｎ・ｘ^(n-1)

　　　　　ｆ^(n)（ｘ）　ｆ^(n)（０）
＝ｌｉｍ　――――――＝――――――≠０
　ｘ→０　　　ｎ！　　　　　ｎ！

したがって、ｆ（ｘ）はｘ＝０でｎ位の無限小である。
（３）
（ア）ｓｉｎｘのとき
　　　　　　　　　ｓｉｎｘ
　　　　　ｌｉｍ　――――＝１≠０より、
　　　　　ｘ→０　　ｘ

　　　　　ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘは、ｘ＝０で１位の無限小である。

（イ）１－ｃｏｓｘのとき
　　　　　　　　　１－ｃｏｓｘ　　　　　　１－ｃｏｓ^2ｘ
　　　　　ｌｉｍ　――――――＝ｌｉｍ　――――――――――
　　　　　ｘ→０　　　ｘ^2　　　ｘ→０　ｘ^2（１＋ｃｏｓｘ）

　　　　　　　　　　　ｓｉｎｘ　　　　　１
　　　　　＝ｌｉｍ　（――――）^2・――――――
　　　　　　ｘ→０　　　ｘ　　　　　１＋ｃｏｓｘ

　　　　　　　　　　１　　１
　　　　　＝１^2・―――＝―≠０
　　　　　　　　　１＋１　２

　　　　　ｆ（ｘ）＝１－ｃｏｓｘは、ｘ＝０で２位の無限小である。

（ウ）ｔａｎｘ－ｓｉｎｘのとき
　　　　　　　　　ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ　　　　　ｓｉｎｘ（１－ｃｏｓｘ）
　　　　　ｌｉｍ　―――――――――＝ｌｉｍ　――――――――――――
　　　　　ｘ→０　　　　ｘ^3　　　　　ｘ→０　　　ｘ^3・ｃｏｓｘ

　　　　　　　　　　ｓｉｎｘ　１－ｃｏｓｘ　　１
　　　　　＝ｌｉｍ　――――・――――――・――――
　　　　　　ｘ→０　　ｘ　　　　　ｘ^2　　　ｃｏｓｘ

　　　　　　　　１　１　１
　　　　　＝１・―・―＝―≠０
　　　　　　　　２　１　２

　　　　　ｆ（ｘ）＝ｔａｎｘ－ｓｉｎｘは、ｘ＝０で３位の無限小である。