質問＜１３３０＞２００３／７／２３
from=数学面白い
「２直線の交点を通る直線」

ｘ-ｙ+１と３ｘ+２ｙ-１２との交点を通る直線を
（ｘ-ｙ+１）+ｋ（３ｘ+２ｙ-１２）＝０と表し、ｋの値が変化することに
よってすべての交点を通る直線を表せるとどこの参考書に書いてありますが、
また実際値を代入して「あ、通る」と確認もできるのですが、どうして上の
式で表されるのでしょうか？　
どうか教えてください。よろしくお願いします。

お便り２００３／７／２４
from=Tetsuya Kobayashi

交点を通る傾き -3/2 の直線は表されていますか？

お便り２００３／７／２４
from=juin

x-y+1=0,3x+2y-12=0と解釈して考えます。交点はP(2,3)となります。
(x-y+1)+k(3x+2y-12)=0という式は、x,yについて１次式なので直線を表します。
さらに、(x,y)=(2,3)を左辺に代入すれば０となります。よって、この式は、
Pを通る直線を表します。
ただし、Pを通る直線をすべて表すとは限りません。
たとえば、　kをどんな値にしても、直線3x+2y-12=0にはなりません。

お便り２００４／１／１５
from=フェッセンセン

(x-y+1)+k(3x+2y-12)=0という式は、x,yについて１次式なので直線を表します。
さらに、(x,y)=(2,3)を左辺に代入すれば０となります。よって、この式は、
Pを通る直線を表します。

とありましたが、この場合の左辺というのは(x-y+1)のことですよね？
　その場合ですと確かに 2-3+1=0になりますが、それでなぜこの式がPを通る
直線であるとわかるのでしょうか？

お返事２００４／１／１６
from=武田

この場合の左辺は、(x-y+1)+k(3x+2y-12)のことです。(x,y)=(2,3)を代入すると、
左辺＝（２－３＋１）＋ｋ（６＋６－１２）
　　＝０＋ｋ・０
　　＝０＝右辺
したがって、点Ｐ（２，３）は、この直線上に存在します。

お便り２００４／１／１７
from=フェッセンセン

答えていただきありがとうございます。確かにそうでした。
さて、この法則？は経験的に出たものでしょうか？
それとも証明か何かありますか？

お返事２００４／１／１７
from=武田

２つのグラフｆ（ｘ、ｙ）＝０とｇ（ｘ、ｙ）＝０の交点を求める。
それは連立すれば求まる。交点があるとすると、
その交点は、ｆ（ｘ、ｙ）＋ｋ・ｇ（ｘ、ｙ）＝０の上に存在する。
ｋは任意の実数。
この方程式は、交点を通るグラフをほとんど表現できるが、
ｇ（ｘ、ｙ）＝０だけは表せない。ａ・ｆ（ｘ、ｙ）＋ｂ・ｇ（ｘ、ｙ）＝０
の方が、表現としては完全かもしれない。

お便り２００４／１／１７
from=フェッセンセン

つづきですが、お返事２００４／１／１７の書いてある内容をみると
どうも同じことをｆ（ｘ、ｙ）等を使って表した（一般式のような感じ）
だけであって証明とはいえないような気がします。
もっとも証明をしてほしいといったわけではないので、
しょうがないのかもしれませんが、、、。

やはり経験的にできたということなのでしょうか？

ｆ（ｘ、ｙ）＝０とｇ（ｘ、ｙ）＝０の関数がある（そららは交点をもつ）とき、
それらの交点はｆ（ｘ、ｙ）＋ｋ・ｇ（ｘ、ｙ）＝０に存在する。