質問＜１２８＞９９／３／３０
from=ゆず缶
「三角比と２次関数かな」

春休みの宿題なんですけど、ちょっと考えても考えてもわか
らない問題にぶつかってしまったので質問させてください。

(１)次の□□□を埋めよ。
∠Ｂ＝９０゜の直角三角形で、ＡＣ＝１、∠ＢＡＣ＝θとする。
ＡＢ及び△ＡＢＣの面積をＳと表すと、
ＡＢ＝□□□、Ｓ＝□□□となる。
また、ＡＢ＋ＢＣ＝√２のとき、
Ｓ＝□□□となる。

(２)
２次関数ｙ＝ａｘ2－４ａｘ＋ｂ(－１≦ｘ≦４)の最大値が７
で、最小値が－２０であるとき、定数ａ，ｂの値を求めよ。
ただし、ａ＜０とする。

(３)
右図のようなＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝３，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ＝２
である四面体ＯＡＢＣにおいて、辺ＡＢの中点をＭとし、
∠ＯＭＣをθとするとき、ｃｏｓθの値を求めよ。

迷惑かけてすみません。

お返事９９／３／３０
from=武田

(１)

斜辺が１の三角比より、底辺ＡＢ＝ｃｏｓθ
高さＢＣ＝ｓｉｎθより、
面積Ｓ＝底辺×高さ÷２＝ｃｏｓθ×ｓｉｎθ÷２
ＡＢ＋ＢＣ＝√２より、
ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ＝√２
両辺を２乗して、
ｃｏｓ2θ＋２ｃｏｓθｓｉｎθ＋ｓｉｎ2θ＝２
公式より、１＋２ｃｏｓθｓｉｎθ＝２
ｃｏｓθｓｉｎθ＝１／２
したがって、Ｓ＝１／４……（答）

(２)
平方完成して、ｙ＝ａ（ｘ－２）2－４ａ＋ｂ
ａ＜０より、グラフは次のような上に凸のグラフとなる。

頂点が最大になるから、
ｘ＝２のとき、－４ａ＋ｂ＝７……①
ｘの範囲の両端ｘ＝－１とｘ＝４ではｘ＝－１の方が最小に
なるから、ｘ＝－１のとき、９ａ－４ａ＋ｂ＝－２０
５ａ＋ｂ＝－２０……②
①と②を連立して
∴ａ＝－３、ｂ＝－５……（答）

(３)

四面体ＯＡＢＣの中にある三角形△ＯＭＣを取り出して、
三辺を求めると、ＯＭ＝√８、ＣＭ＝√３より、
三角比の余弦定理を使うと、
３2＝（√８）2＋（√３）2－２√８√３ｃｏｓθ
９＝８＋３－２√２４ｃｏｓθ
∴ｃｏｓθ＝１／√２４……（答）