質問＜１２７＞９９／３／３
from=みゅう
「微分方程式はどうやって解くの？」

はじめまして！！
今更なが微分をやるはめになってしまって頭かかえてます。
どうにか思い出してみようかとＨＰとかを渡り歩いたんです
が、やっぱりダメでした。
ぜひ、下の方程式の解き方を教えてください！！
よろしくおねがいします。

y''+4y'-5y=0 yo=1 y'o=0

なんにもわからない状態に近いです。。。。

お返事９９／３／５
from=武田

二階線形微分方程式　ｙ''＋ａｙ'＋ｂｙ＝０の公式として、
①ａ2－４ｂ＞０のとき
　　ｍ2＋ａｍ＋ｂ＝０の２解をα，βとすると
　　ｙ＝Ｃ1ｅαｘ＋Ｃ2ｅβｘ
②ａ2－４ｂ＝０のとき
　　ｍ2＋ａｍ＋ｂ＝０の重解をαとすると
　　ｙ＝ｅαｘ（Ｃ1ｘ＋Ｃ2）
③ａ2－４ｂ＜０のとき
　　ｍ2＋ａｍ＋ｂ＝０の２虚数解をα±βｉとすると
　　ｙ＝ｅαｘ（Ｃ1sinβｘ＋Ｃ2cosβｘ）
ということが、微分積分学の参考書に書いてあります。

これを利用して、質問の問題を解いてみましょう。
ａ＝４，ｂ＝－５より、
ａ2－４ｂ＝１６＋２０＝３６＞０
ｍ2＋４ｍ－５＝０の２解をα，βとすると
（ｍ＋５）（ｍ－１）＝０
∴ｍ＝－５，１
α＝－５，β＝１となる。
したがって、
ｙ＝Ｃ1ｅ－５ｘ＋Ｃ2ｅｘ
初期条件のｙ0＝１（つまり、ｘ＝０のときｙ＝１）
１＝Ｃ1＋Ｃ2……（ア）
もう一つの初期条件のｙ0'＝０（ｘ＝０のとき、ｙ'＝０）
ｙ'＝－５Ｃ1ｅ－５ｘ＋Ｃ2ｅｘ
より、
０＝－５Ｃ1＋Ｃ2……（イ）
（ア）（イ）を連立して、
Ｃ1＝１／６
Ｃ2＝５／６
したがって、
ｙ＝（ｅ－５ｘ＋５ｅｘ）／６……（答）