質問＜１１５８＞２００３／３／２８
from=Co.0
「自然対数の底について」

自然対数の底eの計算方法として

lim{(n^n)/(n!)}^1/n = e (2,7128128.....)
n→∞

は正しい方法でしょうか？
また、これを利用して

lim{(n^n)/(n!)} を求めることは可能でしょうか？

さらに、複素数zについて

(z^z)/z!

の(簡単な)一般項を求めることは出来ますか？

どれについてでも、何らかの情報があれば嬉しいです。

お便り２００３／３／２８
from=juin

lim{(n^n)/(n!)}
=lim{(n/n)(n/(n-1))(n/(n-2))...(n/2)(n/1)}
>lim(n/1)=∞

お便り２００３／３／３０
from=phaos

juin 氏の解答は n 乗根を取ることを忘れている。

一般に乗法系の極限は対数をとって考える。
log ((n^n)/(n!))^(1/n)
= (1/n) log ((n^n)/(n!))
= (1/n)(log (n/1) + log(n/2) + …+ log(n/n))
= (1/n) Σ_(k=1)^n (log (n/k))
= -(1/n)Σ_(k=1)^n log (1/(k/n))
→ -∫_0^1 log x dx
= -[x log x - x]_0^1 = 1 (as n → ∞)
従って
lim_(n→∞) ((n^n)/(n!))^(1/n) = e^1 = e.

これを利用して e を計算することは得策ではない。
それは n が替わる毎に計算し直さなければならないから。
即ち例えば n = 10000 と n = 10001 を計算するときに
n = 10000 の結果は全く役に立たない。

収束の速さは調べてないので分からないが,
Σ_(k=0)^∞ (1/(k!))
の方が計算には適した式である。