質問＜１１２８＞２００３／２／２６
from=ＹＭ
「Asian　Pacific　Mathematics　Olympiad　の問題」

△ＡＢＣにおいてＡからＢＣへの垂線の足をＤとする。
Ｄを通る直線上に異なる点Ｅ，Ｆを、ＡＥ⊥ＢＥ、ＡＦ⊥ＣＦである
ようにとり、Ｍ，ＮをそれぞれＢＣ，ＥＦの中点とすれば
ＡＮ⊥ＮＭであることを示せ。

この問題の作図や見通しはわかるのですが証明まではできません。

お便り２００３／３／１
from=Tetsuya Kobayashi

xy平面を考える。
A(0,a), B(b,0), C(c,0) として一般性を失わない。
このとき、Dは原点と一致する。
また、題意より、E, F はそれぞれ AB, AC を直径とする
円周上に存在する。問題文中の直線を y=mx としてよい。
(直線が x=0 のとき題意を満たさない。)
計算によると、
N((ma+(b+c)/2)/(m^2+1), m(ma+(b+c)/2)/(m^2+1))
となる。
計算によって、N は AM を直径とする円周上に存在する
ことが分かるから、題意は示される。
(具体的な計算は省略します。大して面倒ではありません。)