質問＜１１０３＞２００３／２／３
from=ナマシマ
「対数」

0＜x≦1、0＜y≦1で、
log(1/2)x＋log(1/2)y＝(log(1/2)x)2乗+(log(1/2)y)2乗を
満たしているとき、xyのとりうる値を求めよ。

log(1/2)x=X、log(1/2)y=Yとすると、円の方程式になるのですが、
そこから分かりません。

お便り２００３／２／４
from=phaos

条件から
X ≧ 0, Y ≧ 0 で
X + Y = X^2 + Y^2
即ち
(X - 1/2)^2 + (Y - 1/2)^2 = 1/2.
円を描いてみて
k = X + Y (= log_(1/2) x + log_(1/2) y = log_(1/2) (xy))
とすると, この直線と, 上記の円の X ≧ 0, Y ≧ 0 の部分とが
交わる場合は
1 ≦ k ≦ 2
即ち
1 ≦ log_(1/2) (xy) ≦ 2
底は 0 ＜ 1/2 ＜ 1 を満たすので
(1/2)^1 ≧ xy ≧ (1/2)^2 = 1/4.
即ち 1/4 ≦ xy ≦ 1/2.