質問＜１０７４＞２００３／１／１５
from=かなこう
「方程式」

高校の参考書の問題なのですが、よく分からないので、お願いします。
整係数の方程式　ｘ＾4＋ax^3+bx^2+cx+4=0において、
①　根をα、β、γ、σとするとき、根と係数の関係を求めよ。
②　有理数解ｘは整数解であることを証明せよ。
③　4根があい異なる整数であるとき、係数a,b,cを求めよ。
どうかお願いします。

お便り２００３／１／１７
from=phaos

(1)
(x - α)(x - β)(x - γ)(x - δ)
= x^4 - (α + β + γ + δ)x^3 + (αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ)x^2
　- (αβγ + αβδ + αγδ + βγδ)x + αβγδ
から辺々比較して
α + β + γ + δ = -a,
αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = b,
αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = -c,
αβγδ = 4.

(2) x = q/p (規約分数で p > 1) とすると
(q^4 + apq^3 + bp^2q^2 + cp^3q + 4p^4)/p^4 = 0
即ち q^4 + apq^3 + bp^2q^2 + cp^3q = -4p^4.
p, q が互いに素だから, 右辺は p で割りきれるが, 左辺は p では割りきれない。
よって矛盾。
従って p = 1.

(3) (1) より αβγδ = 4.
だから, 四根が相異なる整数であるとき
{α, β, γ, δ} = {±1, ±2}
以外はあり得ない。
(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)
= (x^2 - 1)(x^2 - 4)
= x^4 - 5x^2 + 4
だから
a = c = 0, b = -5.