質問＜１０４４＞２００２／１２／２１
from=たくあき
「オイラー標数」

Ａ：三角形分割された閉曲面Ｘについて，
頂点の数，辺の数，面の数をそれぞれＶ，Ｅ，Ｆとする。
ｘ＝Ｖ－Ｅ＋Ｆと定義し，曲面Ｘのオイラー標数という。
このとき次の関係が成立することを示しなさい。
（１）３Ｆ＝３Ｅ
　　　　　　２
（２）Ｅ＝３（Ｖ－ｘ）
（３）Ｖ（Ｖ－１）≧２Ｅ
（４）Ｖ≧｛７＋√（４９－２４ｘ）｝／２

Ｂ：球面を三角形分割したときの頂点の最少数を求め，
それを実現する球面の三角形分割を作りなさい。

です。宜しくお願いします。

お便り２００２／１２／２４
from=juin

(1)3F=2E
Proof. One triangle has 3 edges, and one edge has 2 faces beside itself.
Then 3E equals to 2F.

お返事２００２／１２／３１
from=武田

（Ａ）

②Ｅ＝３（Ｖ－ｘ）の証明

オイラー標数
ｘ＝Ｖ－Ｅ＋Ｆ
を３倍して、
３ｘ＝３Ｖ－３Ｅ＋３Ｆ
　　＝３Ｖ－３Ｅ＋２Ｅ　←①より
　　＝３Ｖ－Ｅ
Ｅ＝３Ｖ－３ｘ
　＝３（Ｖ－ｘ）

③Ｖ（Ｖ－１）≧２Ｅの証明

※解けず　（~~；）

④ の証明

　③のＶ（Ｖ－１）≧２Ｅより、

　 ←②より

４倍して、

（Ｂ）

√の中の（４９－２４ｘ）が正の数で、最小になるのは、

ｘ＝２のときだから、Ｖ≧４

したがって、頂点の最小数は４個

球面の三角形分割は次のようになります。