質問＜１０３６＞２００２／１２／１２
from=のぶ
「２倍角・３倍角」

三角関数の加法定理
cos(α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ
sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ
を使って、tan2αをtanαで表せることを示して。
また、その結果を使って、tan3αをtanαで表せって
問題なんですけど、どうしてもわからないので、解いてください。

お願いします。

お便り２００２／１２／１６
from=Tetsuya Kobayashi

tan(α)＝sin(α)/cos(α) であるから、
tan(2*α)＝sin(α+α)/cos(α+α)
＝2*sin(α)*cos(α)/(cos(α)^2-sin(α)^2)
分母・分子に 1/cos(α)^2 を掛ければ、
＝2tan(α)/(1-tan(α)^2) ...(答)
同様に(というかこっちが一般形だけど)、
tan(α+β)＝(tan(α)+tan(β))/(1-tan(α)*tan(β))
したがって、
tan(3*α)＝tan(α+2*α)
＝...＝(3-tan(α)^2)*tan(α)/(1-3*tan(α)^2) ...(答)

お便り２００２／１２／１６
from=juin

tan2a=tan(a+a)=sin(a+a)/cos(a+a)

お便り２００２／１２／１７
from=phaos

tan 2α
= (sin 2α)/cos 2α
= (2sinα cosα)/(cos^2 α - sin^2 α)
　　　　　　　　　　　　　 … 分子分母を cos^2 α で割る
= (2 (sinα)/cos α)/(1 - (sin^2 α)/cos^2 α)
= 2 (tan α)/(1 - tan^2 α)

tan 3α = tan(α + 2α)
= (tanα + tan 2α)/(1 - tanα tan 2α)
= (tan α + 2(tan α)/(1 - tan^2 α))/(1 - tan α・2(tanα)/(1 - tan^2 α)
　　　　　　　　　　　　　 … 分子分母に 1 - tan^2 α を掛ける
= (tan α (1 - tan^2 α) + 2 tan α)/(1 - tan^2 α - 2 tan^2 α)
= (3tan α - tan^3 α)/(1 - 3 tan^2 α).