質問＜１０３５＞２００２／１２／１１
from=ソーコム
「集合」

そんな急ぎじゃないんですが。
「集合の集合を集合と呼ぶと都合が悪いので…」
という文があったと知人が言ってました。
私もその子も全く意味がわからず…

なぜ集合の集合を集合と呼ぶと都合が悪いんでしょう？？

お便り２００２／１２／１６
from=Tetsuya Kobayashi

「集合の集合」は「集合族」と呼ぶらしいですね。
# 全然答えになってない。

お便り２００２／１２／１７
from=phaos

「無批判に集合の集合を考えると集合論的矛盾を生じる」
というのであって, 例えば power set (冪集合)
P(A) = { x | x ⊂ A}
というものを考えることには何ら問題はない。

「全ての集合の集合」 を 「集合」 と呼ぶと問題が起こる。

有名な Russell の paradox を紹介しておこう。
M という集合は集合のみを要素としてもつ集合で
M = { x | ￢(x ∈ x)}
を満たすものとする。普通の集合は M の要素である。
例えば実数の集合 R は実数の集合自身を要素としてはもたないので
R ∈ M ということになる。
先程の P(A) も A は要素としてもつが P(A) 自身は要素としてはもたない。

さて, では M が集合であるとすると, M ∈ M であるだろうか ?
もしそうだとすると M の要素は, 自分自身を要素としてもってはいけない
ので矛盾している。
では M は M の要素ではないのであろうか ?
もしそうだとすると, 今度は M の要素というものは M 自身を要素
としてもたない集合なのだから
M の要素でなければならなくなってしまう。

つまり論理式
x ∈ M ⇔ ￢(x ∈ x)
に無批判に M を代入すると
M ∈ M ⇔ ￢(M ∈ M)
となって矛盾するというのがその内容である。

従って (少なくとも) M を集合と呼ぶことは出来ない。
このような「集合」を排除するために ZFC では
正則性公理というものが導入されているのである。

参考 sites:
http://www.ffortune.net/kazu/word/set.htm
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9587/tips/zahlen.html
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9587/tips/zahlen.rd.txt