質問＜１０１８＞２００２／１１／２７
from=hiromi
「最小公倍数」

似たような問題があったので、応用して解こうとしたのですが
わからなかったのでお願いします。

①
2次式x^2-ax+bとx^2+bx+cの最大公約数がx+1で、
最小公倍数がx^3-8x^2+dx+20であるとき、
定数a,b,c,dの値を求めよ。

②
x-2が2つの整式x^2+ax+b,x^3+(a-b)x-bの公約数のとき、
a,bの値と2式の最小公倍数を求めよ。

という2つの問題です。
どうぞよろしくお願いします。

お便り２００２／１１／２８
from=phaos

(1) f(x) = x^2 - ax + b, g(x) = x^2 + bx + c と置く。
これらの最大公約数が x + 1 であることから, 因数定理により
f(-1) = a + b + 1 = 0,
g(-1) = -b + c + 1 = 0.
故に a = -b - 1, c = b - 1.
代入して
f(x) = x^2 + (b + 1)x + b = (x +　1)(x + b),
g(x) = x^2 + bx + b - 1 = (x + 1)(x + b - 1).

明らかに b ≠b - 1 (又は最小公倍数が三次式である) ことから
x^3 - 8x^2 + dx + 20 = (x + 1)(x + b)(x + b - 1).
ここで x = -1 と置くと
11 - d = 0. 故に d = 11.
左辺に代入して
x^3 - 8x^2 + 11x + 20
= (x + 1)(x^2 - 9x + 20)
= (x + 1)(x - 5)(x - 4)
比較して b = -4.
従って a = 4 - 1 = 3, c = -5.

(2) f(x) = x^2 + ax + b, g(x) = x^3 + (a - b)x - b と置く。
これらの最大公約数が x - 2 であることから, 因数定理により
f(2) = 2a + b + 4 = 0,
g(2) = 2a - 3b + 8 = 0.
f(2) - g(2) = 4b - 4 = 0. 故に b = 1. 従って a = -5/2.
代入して
f(x) = x^2 - (5/2)x + 1 = (1/2)(2x^2 - 5x + 2)
 = (1/2)(x - 2)(2x - 1),
g(x) = x^3 -(7/2)x - 1 = (1/2)(2x^3 - 7x - 2)
 = (1/2)(x - 2)(2x^2 + 4x +1).
[ 2x^2 - 4x + 1 = 0 と置いて判別式を採ると
 D/4 = 4 - 2 = 2 は平方数でないからこれ以上因数分解できない]
従って最小公倍数は
(x - 2)(2x - 1)(2x^2 + 4x + 1).

[(1/2)(x - 2)(2x - 1)(2x^2 + 4x + 1) でも良い。
習慣として多項式の最小公倍数は定数倍はどうでもいいことに
なってはいる。但しそういうことをろくろく知らない先生も
いるので, 1/2 をつけておいた方が無難かもしれない。]