質問

xの関数yが、ｔを媒介変数として、
　e^t－e^-t　　e^t+e^-t
x=---------、y=--------　と表されているとする。
　　  2           2

(1)dy/dxをｔを用いて表せ。
(2)dy/dx=-1/2となるxの値α、およびdy/dx=1/2となる
　ｘの値βを求めよ。
(3)定積分∫ydxを求めよ。
(積分範囲は(2)で求めたαからβ）

これはカテナリーという曲線を表すと教わり、ハイパブリック
コサインやハイパブリックサインがどうのこうの言われたので
すが、詳しい事はまた来週と言われてしまい、ものすごく気に
なっています。
ハイパブリック○○ってどういう意味なんでしょうか。
一応問題の答もお願いします。

お返事２００２／１０／３０
from=武田

 とすると、

（１）

（２） より、

∴

       のときも同様にして、

（３）変数置換して、

※ハイパブリック・サイン、ハイパブリック・コサイン
ハイパブリック・タンジェントは、

 と定義します。懸垂線を英語で、カテナリーと言います。

お便り２００２／１０／３０
from=juin

The Taylor series of sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!...
The Taylor series of sinhx=x+x^3/3!+x^5/5!+x^7/7!...
Generalliy speaking, 
f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+...,
hyperbolic function of f is defined
 by b0+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+...  where bi=|ai| .

お便り２００２／１１／１
from=phaos

x = cosh t,
y = sinh tと置くと, e^x で書いた式から容易に計算できるように
x^2 - y^2 = 1
です。これは直角双曲線なので,
双曲線函数 (hyperbolic function, 双曲線は hyperbola)
と呼ばれるのでした。
これは x = sin t, y = cos t と置くとき x^2 + y^2 = 1 となる
ことの類似です。

懸垂線 (catenary) は (線密度) 一様な紐などの両端を
固定してぶら下げると出来る曲線です。
例えば電線や, ネックレスなどは懸垂線を描いている
 (筈) です。
このことは変分法などを用いて確かめることが出来ます。

ところで三角函数の逆函数は, 例えば y = sin x の逆函数は
y = arc sin x
等と描かれますが, これは x に対応する, 単位円周の長さ
 (つまり弧長 arc)が y であるからです。
これに対応して x^2 - y^2 = 1 上の点 P(cosh t, sinh t)
を考えると
線分 OP と双曲線と x 軸で囲まれる部分の面積が t/2 になります。
それ故 t = area cosh x = area sinh y 等と書きます。
(誤って arcsinh 等としている site もある)