質問＜９９０＞２００２／１０／１９
from=さっぱりぱりぱり
「極限」

lim(n→∞)log(n+1)/log(n)
を求めなさい。

どなたか教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

お便り２００２／１０／２３
from=phaos

先ず明らかに
log n ＜ log(n + 1)
そして
y = log x + 1 - log(x + 1)
と置くと
y' = 1/x - 1/(x + 1) = 1/(x(x + 1)) > 0.
x = 1 ⇒ y = log 1 + 1 - log 2 = 1 - log 2 > 0
(e > 2 より log 2 ＜ log e = 1 だから).
従って n ≧ 1 ⇒ log n + 1 - log(n + 1) > 0
つまり
log n + 1 > log(n + 1)
以上より
log n ＜ log(n + 1) ＜ log n + 1.
n > e の時だけ考えればいいから log n > 0 として良い,
よって
(log n)/log n ＜ (log(n + 1))/log n ＜ (log n + 1)/log n
即ち
1 ＜ (log(n + 1))/log n ＜ 1 + 1/log n
ここで n → ∞とすれば
1 ≦ lim_(n→∞) (log(n + 1))/log n ≦ 1
であるから
lim_(n→∞) (log(n + 1))/log n = 1.

お便り２００２／１０／２３
from=juin

log(n+1)/log(n)={log(n+1)-log(n)+log(n)}/log(n)
={log(n+1)-log(n)}/log(n)+log(n)/log(n)
=log((n+1)/n)/log(n)+1
=log(1+1/n)/log(n)+1
->0+1=1  as n->infinity