質問＜９７５＞２００２／１０／５
from=みき
「３次方程式の解」

a*x^3-x^2-x-(a-2)=0　の解がすべて実数になる
実数aの値の範囲を求めよ。

家庭教師先の生徒にこの問題を解いてと
言われました。
高２の知識でとけるでしょうか？？

お便り２００２／１０／７
from=phaos

ax^3 - x^2 - x - a + 2 = 0
ax^3 - a - (x^2 + x - 2) = 0
a(x^3 - 1) - (x^2 + x - 2) = 0
a(x - 1)(x^2 + x + 1) - (x - 1)(x + 2) = 0
(x - 1)(a(x^2 + x + 1) - (x + 2)) = 0.
(x - 1)(ax^2 + (a - 1)x + (a - 2)) = 0.
だから
ax^2 + (a - 1)x + (a - 2) = 0
が実数解を持てばよい。
a = 0 とすると -x - 2 = 0 は実数解を持つから題意を満たす。
よって a ≠ 0 の時, x に関する判別式を取って
D = (a - 1)^2 - 4a(a - 2)
= a^2 - 2a + 1 - 4a^2 + 8a
= -3a^2 + 6a + 1
= -(3a^2 - 6a - 1) ≧ 0
3a^2 + 6a + 1 ≦ 0
(-3 - √6)/3 ≦ a ≦ (-3 + √6)/3.

お便り２００２／１０／１４
from=ふにゃ

質問９７５の３次方程式の解ですが、途中の計算が違っています。
１６行目の3a^2 + 6a + 1 ≦ 0ですが正しくは
3a^2 - 6a - 1 ≦ 0  です。
ちなみの答えは
(1 - √6)/3 ≦ a ≦ (1 + √6)/3
になります。それだけです。では。