質問＜９３５＞２００２／８／２７
from=ポポ
「三角形の問題」

ＡＢ＝２、ＡＣ＝１，角Ａ＝θの三角形ＡＢＣにおいて、
辺ＢＣを直径とする半円をＢＣに関してＡと反対側に作る。
動点Ｐが半円周上を動く時、線分ＡＰの長さの最大値をＭとする。
θ＝６０の時Ｍ＾２＝アである。
また、θが０＜θ＜１８０で変わる時Ｍはθ＝イで最大値ウをとる。
（最初の問題はわかりました。イとウを
三角形の公式
（ＡＢ）＾２＋（ＡＣ）＾２＝２｛（ＡＭ）＾２＋（ＢＭ）＾２｝
を利用して解きたいのですがわかりません。お願いします。）

お便り２００２／８／２８
from=Tetsuya Kobayashi

半円の半径rとすると、
パップスの定理(中線定理)より、2(r^2+(M-r)^2)=5 。
また、余弦定理より 4r^2=5-4cosθ だから、
M=(√(5+4cosθ))+(√(5-4cosθ))/2 、
M≧0より、Mを2乗して、正の数をかけても大小関係は変わらない。
2(M^2)=5+√(25-16cosθ) 、よってMはθ=90°で最大値√5をとる。