質問

一辺の長さが１の正三角形ＡＢＣがある。辺ＢＣ，辺ＣＡ、辺ＡＢの
中点をそれぞれＬ、Ｍ，Ｎとし
　　　　　　ＡＰ＝ＢＱ＝ＣＲ＝ｔ
となる辺ＡＢ上の点をＰ，辺ＢＣ上の点をＱ，辺ＣＡ上の点をＲとし、
直線ＰＭ、直線ＱＮ，直線ＲＬをそれぞれｍ１、ｍ２、ｍ３とする。
ｍ１とｍ２、ｍ２とｍ３、ｍ３とｍ１との交点をそれぞれＤ，Ｅ，Ｆ
とし、三角形ＤＥＦを考える。
このときｔが０から１まで変化するとき、三角形ＤＥＦが通過する領域
を図示しその面積を求めよ。

この問題がわかりません。
お手数ですがなるべくお早めに回答よろしくお願いします

お便り２００２／８／１８
from=Tetsuya Kobayashi


図の青線で囲まれた部分が求める領域です。
(赤線は三角形DEFの例です。)
曲線部分は極方程式の形式で記述することができます。
面積を計算すると、π/12+(3√3)/16 となるでしょう。
(計算ミスをしている可能性もありますので、あまり信用しないよう。)

お便り２００２／８／１９
from=mochi

　早々にお答えいただいてありがとうございます。
申し訳ありませんが、青い部分の極方程式は
どのようにして求められるのでしょうか？

お便り２００２／８／１９
from=Tetsuya Kobayashi


こんにちは。

LF＝r、∠FLC＝θとおいたときのrとθの関係を求めてみよう。
ただし、0°≦θ≦60°とする。
対称性より、三角形DEFは正三角形となり、正三角形ABCの重心をG
とすると、正三角形DEFの重心もGとなる。
GからLFに下ろした垂線の足をHとする。
Lを原点、LC方向をx軸、LA方向(LG方向)をy軸とするxy直交座標を
考えると、
直線LFの式はy＝(tanθ)x、G(0, (√3)/6)となるから、
GとLFの距離すなわちGHの長さは、
点と直線の距離の公式を用い、
また1+(tanθ)^2＝1/(cosθ)^2に注意し、
cosθ≧0であることから、
GH＝((√3)/6)cosθとなる。
∠FGH＝60°、∠LGH＝θであることから、
FH＝(1/2)cosθ、LH＝((√3)/6)sinθとなり、
LF＝(1/2)cosθ+((√3)/6)sinθとなる。
したがって、Lを原点、LC方向を始線とする極座標を考えると、
0°≦θ≦60°のとき、
r＝(1/2)cosθ+((√3)/6)sinθ
という極方程式でFの軌跡が求まります。

※ 60°＜θ≦90°のとき、正三角形DEFは正三角形ABCに
完全に含まれてしまうので計算しなくていいでしょう。
※ ちなみに、θ＝90°(t＝1に相当)のときには
正三角形DEFは存在しませんね。