質問＜９０８＞２００２／８／５
from=ももっち
「ベクトルと空間図形」

原点をＯとし、３点Ａ(2,0,0)、B(0,4,0)、C(0,0,3)をとる。
原点Ｏから３点Ａ、Ｂ、Ｃを含む平面に垂線ＯＨを下ろす。
（１）Ｈの座標を求めよ。
（２）三角形ＡＢＣの面積を求めよ。
という問題なのですが、この問題は外積が使えるのでしょうか？
何となく使えそうな気がするのですが、
外積を使って解こうとしたのですが、まだ慣れてないせいか、
途中で分からなくなってしまいました。
使えるのなら、外積を使った解き方を教えてください。
お願いします。

お便り２００２／８／８
from=Tetsuya Kobayashi

(1)
外積を使わない解き方。
A, B, C を含む平面上の点が (x, y, z)＝(2p, 4q, 3r) (p+q+r＝1) 
と書けることから、
x^2+y^2+z^2 が最小となる x, y, z を計算する。
ちなみに、(x, y, z)＝(72/61, 36/61, 48/61) となります。

(2)
2*4*(1/2)*3*(1/3)＝(三角形ABCの面積)*(線分OHの長さ)*(1/3) より、
求める面積は √61 となります。

お返事２００２／８／１７
from=武田

外積を使って解いてみよう。

Ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）とおくと、

 ………①より

外積の大きさは２つのベクトルで作る平行四辺形の面積だから

△ＡＢＣの面積＝ ………（答）

 より、内積

したがって、

①に当てはめると、

座標を個々に求めると、

ｘ座標は　 

２乗して、 ∴

同様にして、

 ………（答）