質問＜９０＞９８／１１／２８
from=細見
「空間座標とベクトル」

以下の問いのを解いたのですが、解答に自信がありません。
解き方があっているか見て下さい。お願いします。

　　　　　　　　　　　　　　　　→
お互いに直行する３つのベクトルをａ＝（1,2,1）
→　　　　　 　→
ｂ＝（0,-1,2）,ｃ＝（-5,2,1）とし、さらにベクトル
→　　　　　　　　　→　→　　　　　　　　　　→　→
ｄ＝（ｐ,ｑ,ｒ）は、ａ，ｂとの内積がそれぞれ　ａ・ｂ＝２
→　→
ｂ・ｄ＝-１であるとする。

　　　→　→
（１）ｃ, ｄ　を２辺とする平行四辺形の面積Ｓを求めよ。
　　　→　→　→　→
（２）ｃ・ｄ＝ｄ・ｅ＝０　で大きさがＳとなるベクトル
　　　→
　　　ｅ＝（ｘ,ｙ,ｚ）を求めよ。

-----------------------------------------------------
　　　→　→
（１）ａ・ｄ=ｐ+２ｑ+ｒ=２　―①
→　→
ｂ・ｄ=０－ｑ+２ｒ=-１　―②
②を①に代入する
ｐ+２（２ｒ+１）+ｒ=２　　　　ｐ=-５ｒ
　→
∴ｄ=（ｐ,ｑ,ｒ）=（-５ｒ,２ｒ+１,ｒ）

sin2θ+cos2θ=１
→　→　→　→
ｃ・ｄ=|ｃ||ｄ|cosθ
(三角形の内積より)　sinθ＞０

　　　　 →　→　
Ｓ=２・|ｃ||ｄ|sinθ／２　　これを計算すると
　　　→　 →　　 →　→
　=√|ｃ|2|ｄ|2-（ｃ・ｄ）2　―＊

　　　 →　　 →　　　→　→
√内の|ｃ|2，|ｄ|2，（ｃ・ｄ）2　をそれぞれ先に計算しておくと
→
|ｃ|2=√（２５+４+１）2=３０
→
|ｄ|2=√（２５ｒ2+４ｒ2+４ｒ+１+ｒ2）2=３０ｒ2+４ｒ+１
　→　→
(ｃ・ｄ）2=（２５ｒ+４ｒ+２+ｒ）2=９００ｒ2+１２０ｒ+４

これらを ＊ に代入すると
√３０（３０ｒ2+４ｒ+１）-９００ｒ2+１２０ｒ+４=√２６
∴Ｓ=√２６

　　　→　→　→　→
（２）ｃ・ｄ＝ｄ・ｅ＝０　より
-５ｘ+２ｙ+ｚ=０
ｚ=５ｘ-２ｙ　―①
-５ｒｘ+（２ｒ+１）ｙ+ｒｚ=０　―②
①を②に代入する
-５ｘｒ+（２ｒ+１）ｙ+ｒ（５ｘ-２ｙ）=０
∴ｙ=０，ｚ=５ｘ
　　　　→
よって　ｅ＝（ｘ,０,５ｘ）
→
|ｅ|=√ｘ2+２５ｘ2=√２６
両辺２乗して
２６ｘ2=２６
ｘ2=１　　　　　ｘ=１,-１
　→
∴ｅ＝（１,０,５），（-１,０,-５）

お返事９８／１１／２９
from=武田

問の中で２ヶ所に一部誤りがあります。
--------------------------------------------------------
→　　　　　　　　　→　→　　　　　　　　　　→　→
ｄ＝（ｐ,ｑ,ｒ）は、ａ，ｂとの内積がそれぞれ　ａ・ｂ＝２
--------------------------------------------------------
→　→　　　　　　　→　→
ａ・ｂ＝２ではなく、ａ・ｄ＝２ですね。
--------------------------------------------------------
　　　→　→　→　→
（２）ｃ・ｄ＝ｄ・ｅ＝０　で大きさがＳとなるベクトル
--------------------------------------------------------
→　→　　　　　　　→　→
ｃ・ｄ＝０ではなく、ｃ・ｅ＝０ですね。
２ヶ所の誤りを正せば、解答は良くできています。
次の箇所の説明をもう少し丁寧にしましょう。
sin2θ+cos2θ=１
→　→　→　→
ｃ・ｄ=|ｃ||ｄ|cosθ
(三角形の内積より)
三角形の内角θは必ずsinθ＞０
したがって、
　　　　→　→
　　　　ｃ・ｄ
cosθ＝────
　　　　→　→
　　　 |ｃ||ｄ|
sin2θ＝１－cos2θ
　　　　　 →　 →　　 →　→
 　　　√{|ｃ|2|ｄ|2－(ｃ・ｄ)2}
sinθ＝────────────────
　　　　　　　 →　→
　　　　　　　|ｃ||ｄ|

平行四辺形の面積は
　　 →　→　
Ｓ＝|ｃ||ｄ|sinθでいいですよ。

　　　　→　 →　　 →　→
Ｓ＝√{|ｃ|2|ｄ|2－(ｃ・ｄ)2}　―＊

　　　 →　 　→　　　→　→
√内の|ｃ|2や|ｄ|2や（ｃ・ｄ）2　を
それぞれ先に計算しておくと
 →
|ｃ|2＝√(２５+４+１)2=３０
 →
|ｄ|2＝√（２５ｒ2+４ｒ2+４ｒ+１+ｒ2）2
　　＝３０ｒ2+４ｒ+１
 →　→
(ｃ・ｄ）2＝（２５ｒ+４ｒ+２+ｒ）2
　　　　　＝９００ｒ2+１２０ｒ+４

これらを ＊ に代入すると
√{３０（３０ｒ2＋４ｒ＋１）－(９００ｒ2＋１２０ｒ＋４)}
＝√(９００ｒ2＋１２０ｒ＋３０－９００ｒ2－１２０ｒ－４）
＝√２６
∴Ｓ=√２６
この問題はベクトルの内積に対して、ベクトルの外積を求め
ることを意図している問題です。外積
→　→　　　　　　→　→
ｃ×ｄは大きさが、ｃとｄでできる平行四辺形の面積で、
　　　　→　→
方向は、ｃとｄ両方に垂直方向です。
→　→　→　→
ｃ×ｄとｄ×ｃでは、大きさは同じですが、向きが逆となり
ます。　→
（２）のｅの答が２つあったのはこういうわけでした。