質問＜６９３＞２００１／１１／１４
from=白鳥
「正５角形」

正５角形の描き方を教えてください。

お返事２００１／１１／１４
from=武田

半径１の円に内接する正５角形を描くと、
まず半径ＢＯの真ん中に点Ｃをとる。
ＣＯ＝１／２
△ＡＣＯにおいて、三平方の定理より、
ＡＣ2＝ＡＯ2＋ＣＯ2
　　　√５
ＡＣ＝――
　　　　２
この後、描き方が２つに分かれる。
（１）ＣＯ＝ＣＤより、
　　　　　　√５－１
　　　ＡＤ＝――――
　　　　　　　２

　　　ＡＤ＝ＡＥより、正１０角形の一辺が求まる。
　　　なぜ、正１０角形の一辺になるかと言うと、
　　　３６０°÷１０＝３６°
　　　ＡＥ＝２sin１８°
　　　cos３６°＝cos（９０°－５４°）＝sin５４°より、
　　　cos（２・１８°）＝１－２sin2１８°
　　　sin（３・１８°）＝３sin１８°－４sin3１８°
　　　sin１８°＝ｘとおくと、
　　　１－２ｘ2＝３ｘ－４ｘ3
　　　４ｘ3－２ｘ2－３ｘ＋１＝０
　　　（ｘ－１）（４ｘ2＋２ｘ－１）＝０
　　　０＜sin１８°＜１より、０＜ｘ＜１
　　　したがって、
　　　　　　　　　　　－１＋√５
　　　　　　　　　ｘ＝―――――
　　　　　　　　　　　　　４

　　　　　　　　　　　　　　√５－１
　　　∴ＡＥ＝２sin１８°＝―――――
　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　　△ＡＥＦより、正５角形の一辺はＡＦとなる。

（２）ＡＣ＝ＧＣより、
　　　　　　√５－１
　　　ＧＯ＝――――
　　　　　　　　２
　　　△ＡＧＯにおいて、三平方の定理より、
　　　ＡＧ2＝ＧＯ2＋ＡＯ2

　　　　　　√（１０－２√５）
　　　ＡＧ＝―――――――――
　　　　　　　　　２

　　　ＡＧ＝ＡＦより、正５角形の一辺はＡＦとなる。

ともかく（１）（２）のどちらかにより、正５角形の一辺が求まるが、
ＡＦが本当に
　　　　√（１０－２√５）
　　　　―――――――――
　　　　　　　　２
となるか、確認してみよう。



ＡＦ＝２ＡＨ

△ＡＥＨより、
　　　√５－１
ＡＨ＝――――・cos１８°
　　　　　２

△ＯＡＨより、

ＡＨ＝sin３６°＝２sin１８°cos１８°

√５－１
――――＝２sin１８°
　　２

　　　　　　　√５－１
∴sin１８°＝―――――
　　　　　　　　　４

したがって、
　　　　　　　　　√５－１
ＡＦ＝２ＡＨ＝２・――――・√（１－sin2１８°）
　　　　　　　　　　　２

　　　　　　　　　　　　　　５－２√５＋１
　　＝（√５－１）・√（１－―――――――）
　　　　　　　　　　　　　　　　１６

　　　　　　　　　　　　１６－６＋２√５
　　＝（√５－１）・√（――――――――）
　　　　　　　　　　　　　　　１６

　　　√｛（５－２√５＋１）（１０＋２√５）｝
　　＝――――――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　４

　　　√（６０＋１２√５－２０√５－２０）
　　＝――――――――――――――――――
　　　　　　　　　　４

　　　√（４０－８√５）
　　＝―――――――――
　　　　　　４

　　　２√（１０－２√５）
　　＝――――――――――
　　　　　　　４

　　　√（１０－２√５）
　　＝―――――――――
　　　　　　２