質問＜６６１＞２００１／１０／２
from=マスマニア
「変数の答えへの影響」
お世話になっています 質問よろしくお願いします 問題は参考書からの抜粋です ----------------------------------------------------------------------- 問題 平面上の曲線Cが媒介変数tを用いて x＝sint-tcost …（1） y=cost+tsint…（2） （0≦t≦π）のとき曲線Cはtを 動かすとどのような図形をえがくか -------------------------------------------------------------------------- 私の解答 （1）（2）を両辺二乗して足すと x＾2+y＾2＝t＾2 となる つまり中心（0,0）の半径tの円を描く ----------------------------------------------------------------------- さて ここからが私の質問です どうやら参考書の答えをみると私の解答は 間違っているようです。しかし なぜこの考えがあやまりなのか しっくりきません 一応 僕の解答もxとyで式が成り立っていますよね いろいろ考えた結果 『僕の答えは式の中に変数tが入ったままなので間違いなのではないか』と考えました そしておそらくこの考えで正しいのでしょう。しかしなぜ変数が式の中にはいっていると 誤りなのか釈然としません 教えてもらえないでしょうか？ このような疑問をもった問題はほかにもあります 下記の問題です ------------------------------------------------------------- 問題 定三角形ABCがある。実数kにたいして点Pが pa+2pb+3pc=kab を満たしている kが実数全体を動く時pのみたす 軌跡をもとめよ ただし 小文字はベクトルを表すとする つまり paとはPAベクトルのことであり pbとはPBベクトルである ------------------------------------------------------------------------- 私の解答 全てのベクトルを始点をAとした ベクトルにかきかえると ap=｛（5-k）/6｝×｛(2-k)ab+3ac｝/（ 5-k） ＝｛（5-k）/6｝×｛(2-k)ab+3ac｝/｛3+（2-k）｝ 一般に (mab+nab)/(n+m)は ABをn対mに内分した点をさすベクトルであるので この考えにしたがって apはABを 3対（2-k）に内分した点とAを結ぶ直線 ということができる ------------------------------------------------------------------------- この『私の』解答も 最終的に変数kが入って来た内容です そして当然のように この解答は間違っているようです これらの経験から 『最終的に変数がはいる解答はあやまりである』との考えをもちました。 私の上の考え『最終的に～～』は正しいでしょうか？そして正しいならば なぜ 最終的に変数が入って来た式はあやまりといえるのでしょうか？ よろしくお願いします
お返事２００２／１／２４
from=武田
※時間に余裕ができたので、未解決にしていた問題にアタックすることが
できました。
＜問題１＞
はじめの問題は、単なる計算ミスですね。
それぞれ２乗して、
上と下を足すと、
したがって、原点（０，０）が中心で、半径の円となるので、
０≦ｔ≦πのとき描く図形は次のようになる。
＜問題２＞
これも最後の段階のミスですね。
までは良いのですが、
「ＡＢを３：（２－ｋ）に内分した点とＡを結ぶ直線」ではなく、
「ＢＣを３：（２－ｋ）に内分した点とＡを結んだ直線を倍した
端点Ｐが描く図形」となります。しかし、これだけでは答えたことになら
ないので、もう少し変形をします。
「点Ｐは、ＡＣの中点を通り、ベクトルＡＢに平行な直線上を動く」
が答となります。
したがって、最終的な結論の「変数が入る答は誤りである」とは、いえません。
変数が入る答えは誤りであるとはいえない、とありますが、 それは違うと思います。 ＜問題１＞において、x^2+y^2=t^2+1と、まるでx,yが tと無関係であるかのように書いてありますが、実際は x,yともにtの関数であるので、x,yはx^2+y^2=t^2+1 を満たす全ての値をとれるわけではありません。 tを決めると半径が決まりますが、x,yもただ一つに決まってしまいます。 逆に、x,yを動かすとそれに対応するtも変わってしまうのに、 tだけを固定してx,yを動かしていてはいけないのです。 結局、答えに変数が入っているという事は答えがもう少し 絞り込める、不十分であると言う事なのです。 ＜問題２＞は武田さんの解答で良いのですが、それは、 「ＢＣを３：（２－ｋ）に内分した点とＡを結んだ直線」 で終わらずに、それを(5-k)/6倍した「端点」が描く図形、と さらにきちんと絞り込んでいるからです。 そして、最終的な解答の 「点Ｐは、ＡＣの中点を通り、ベクトルＡＢに平行な直線上を動く」 には変数のkは入っていませんね。 というわけで、変数の入っている答えは正解ではありません。 ところで＜問題１＞の正しい答えなのですが、しばらく 考えてみたのですが解けませんでした。
