質問＜６５４＞２００１／９／２９
from=たくや
「不定積分の問題です。」

どうしても解けないので教えてください。

（１）　　ｘ　＋　２
　　　∫　―――――　ｄｘ
　　　　　　4
　　　　　ｘ　－　１


（２）　　　3　　2　　
　　　　　ｘ－３ｘ－４ｘ－２０
　　　∫　――――――――――　ｄｘ
　　　　　　　　4
　　　　　　　ｘ　－１６


（３）∫ｘcosｘsinｘｄｘ

お便り２００１／１０／１
from=Hoshino

(1) (x + 2)/(x^4 - 1) = a/(x - 1) + b/(x + 1) + (cx + d)/(x^2 + 1)
と置く。 両辺を x^4 - 1 倍すると
x + 2 = a(x + 1)(x^2 + 1) + b(x - 1)(x^2 + 1)
　　　　　　　　　 + (cx + d)(x + 1)(x - 1)  …[a]
これに x = 1 を代入
3 = 4a ∴a = 3/4.
x = -1 を代入
1 = -4b ∴b = -1/4
式 [a] から
4(cx + d)(x + 1)(x - 1)
= 4(x + 2) - 3(x + 1)(x^2 + 1) + (x - 1)(x^2 + 1)
= 4(x + 2) - 2(x^2 + 1)(x + 2)
= -2(x + 2)(x^2 + 1 - 2)
= -2(x + 2)(x^2 - 1).
従って
2(cx + d) = -(x + 2)
即ち c = -1/2, d = -1.

従って
与式 = (3/4)∫dx/(x - 1) -(1/4)∫dx/(x + 1)
- (1/4)∫(2xdx)/(x^2 + 1) -∫dx/(x^2 + 1)
= (3/4)log|x - 1| - (1/4)log|x + 1| - (1/4)log|x^2 + 1|
- Tan^(-1) x + C, C: 積分定数。

(2) (x^3 - 3x^2 - 4x - 20)/(x^4 - 16)
= a/(x - 2) + b/(x + 2) + (cx + d)/(x^2 + 4)
と置く。両辺を x^4 - 16 倍すると
x^3 - 3x^2 - 4x - 20
= a(x + 2)(x^2 + 4) + b(x - 2)(x^2 + 4) + (cx + d)(x - 2)(x + 2) …[b]
これに x = 2 を代入。
-32 = 32a ∴a = -1.
x = -2 を代入。
-32 = -32b ∴b = 1.
式 [b] から
(cx + d)(x - 2)(x + 2)
= x^3 - 3x^2 - 4x - 20 + (x + 2)(x^2 + 4) - (x - 2)(x^2 + 4)
= x^3 - 3x^2 - 4x - 20 + 4(x^2 + 4)
= x^3 + x^2 - 4x - 4
= (x + 1)x^2 - 4(x + 1)
= (x + 1)(x^2 - 4).
故に
cx + d = x + 1
即ち c = d = 1.
よって
与式 = - ∫dx/(x - 2) + ∫dx/(x + 2) + (1/2)∫(2xdx)/(x^2 + 4)
+ ∫dx/(x^2 + 4)
= - log|x - 2| + log|x + 2| + (1/2)log|x^2 + 4| + (1/2)Tan^(-1)(x/2) + C,
C: 積分定数。

ここで最後の積分は x = 2tanθ と置くと
∫dx/(x^2 + 4) =∫(2dθ/cos^2θ)/(4tan^2θ + 4)
= (1/2)∫dθ/((tan^2θ + 1)cos^2θ)
= (1/2)∫dθ = (1/2)θ
だから。

(3) 与式 = (1/2)∫x sin 2x dx
= (1/2)∫x d((-1/2)cos 2x)
= (1/2)[-(x/2)cos 2x + (1/2)∫cos 2x dx]
= -(x/4)cos 2x + (1/8)sin 2x + C. C: 積分定数。

お便り２００１／１０／４
from=j531071

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