質問＜６４２＞２００１／９／２３
from=きょうこ
「極限値の計算」

１）　　　　　√ｘ
　　ｌｉｍ　Ｘ
　　ｘ→＋0

２）　　　　　　2
　　　　　　　ｘ
　　ｌｉｍ　Ｘ
　　ｘ→＋0　

解き方を教えてください。

お返事２００１／９／２４
from=武田

１）は
　　　　　　　　　1/2
　　　√ｘ　　　ｘ
ｙ＝ｘ　　　＝ｘ

２）は
　　　　２
　　　ｘ
ｙ＝ｘ

より、

ｙ＝ｘ＾（ｘ＾ｎ）のグラフで、
１）はｎ＝１／２＝０．５
２）はｎ＝２
のときにあたるから、
コンピュータを使った作図より、



両方とも極限値は１となるが、

解き方について、ｄ３さんとHoshinoさんからからアドバイスをいただきました。
感謝！！

お便り２００１／９／２７
from=ｄ３

lim(x→+0)x^xを考えましょう．
y＝x^x　（＞0 ）の両辺に対し自然対数をとり
　log(y)＝x・log (x) ＝ log (x) ／(1/x) 
 ロピタルの定理を適用し，極限はx→+0として

lim｛log(y)｝＝lim {log (x) ／(1/x)}＝lim｛(1/x) ／(－1/x^2)｝
＝lim｛－x｝＝－0
したがって，lim(y) ＝lim｛x^x｝が有限確定値を持つとき，
その値は lim｛x^x｝＝exp(－0) ＝ 1

log{x^(√x)}＝√xlogx＝｛2√x・log (√x)｝→0　よって1です．

log{x^(x^2)}＝x^2logx＝x(xlogx)→0　です．よって1です．

ロピタルを使っていますので，そうでないと非常に長くなります．
どこかで読んだのですが，{1/n}で極限を考えて，
1/(n+1)≦x≦1/n ではさみうちです．

お便り２００１／９／２８
from=Hoshino

先ず lim_(x→+0) (x log x) = 0.
を証明する。

その為に x = e^(-t) と置くと, x→+0 の時 t → +∞.
x log x = -t e^(-t) = -t/e^t
だが,
e^t > 1 + t + (t^2)/2, t > 0 (*)
が証明できるので
0＜ t/e^t＜ t/(1 + t + (t^2)/2)→0 as t→+∞.
従って
lim_(x→+0) (x log x) = 0.

(*) を証明する。
f(t) = e^t - 1 - t -  (t^2)/2
と置く。 f(0) = 0.
f'(t) = e^t - 1 - t.
f'(0) = 0.
f"(t) = e^t - 1 > 0, t > 0
従って, f'(t) は狭義単調増加だから f'(t) > 0, t > 0.
従って f(t) も狭義単調増加だから f(t) > 0, t > 0.

さて
(1) だが (必要なら s = √x と置き換えれば)
log x^(√x) = (√x) log x = 2(√x) log (√x)→0 as x→ +0.
即ち
x^(√x) = e^(log x^(√x))→1.

(2) も同様に
log x^(x^2) = x^2 log x = x(x log x) → 0 as x → +0.
即ち
x^(x^2) = e^(log x^(x^2)) → 1.