質問＜６２２＞２００１／８／２９
from=コロッケ
「複素数の応用題」

複素数平面上で、複素数αは２点 1 + i と
1 - i とを結ぶ線分上を動き、複素数β
は原点を中心とする半径１の円周上を動くものとする。

（1）α + β　が複素数平面上を動く範囲の面積は、
　　　□　+　□π　である。

（2）αβ　が複素数平面上を動く範囲の面積は、□πである。

（3）α^2　が複素数平面上で描く曲線と虚軸で
　　　囲まれた範囲の面積は　□　である。

□内をもとめよ。

お返事２００１／８／３１
from=武田

（１）
α＝１＋ｋｉ（－１≦ｋ≦１）
β＝cosθ＋ｉsinθ（０≦θ＜２π）
とすると、
α＋β＝（１＋cosθ）＋ｉ（ｋ＋sinθ）
これがどのような図を描くかは、実部をｘ、虚部をｙとおいて、
｛ｘ＝１＋cosθ
｛ｙ＝ｋ＋sinθ
変形して、
｛（ｘ－１）＝cosθ
｛（ｙ－ｋ）＝sinθ
２乗して足すと、
（ｘ－１）2 ＋（ｙ－ｋ）2 ＝cos2 θ＋sin2 θ＝１
－１≦ｋ≦１の範囲でｋを変化させ図を描くと、



図より、面積は
２×２＋π（１）2 ＝４＋π………（答）

（２）
αβ＝（１＋ｋｉ）（cosθ＋ｉsinθ）
　　＝（cosθ－ｋsinθ）＋ｉ（ｋcosθ＋sinθ）
｛ｘ＝cosθ－ｋsinθ
｛ｙ＝ｋcosθ＋sinθ
２乗して、
｛ｘ2 ＝cos2 θ－２ｋsinθcosθ＋ｋ2 sin2 θ
｛ｙ2 ＝ｋ2 cos2 θ＋２ｋsinθcosθ＋sin2 θ
足すと、
ｘ2 ＋ｙ2 ＝（１＋ｋ2 ）cos2 θ＋（１＋ｋ2 ）sin2 θ
　　　　　＝（１＋ｋ2 ）（cos2 θ+sin2 θ）
　　　　　＝（１＋ｋ2 ）・１
　　　　　＝１＋ｋ2 
－１≦ｋ≦１の範囲でｋを変化させ図を描くと、



図より、面積は
π（√２）2 －π（１）2 ＝２π－π＝π………（答）

（３）
α2 ＝（１＋ｋｉ）2 
　　＝（１－ｋ2 ）＋２ｋｉ
｛ｘ＝１－ｋ2 
｛ｙ＝２ｋ

　　１
ｋ＝―ｙを代入して、
　　２

　　　　　１
ｘ＝１－（―ｙ）2 
　　　　　２

－１≦ｋ≦１より、－２≦ｙ≦２

図を書くと、横に寝た放物線だから、
　　　１
ｘ＝－―ｙ2 ＋１
　　　４



虚軸で囲まれた部分の面積は、積分で、

　２　　１
∫　（－―ｙ2 ＋１）ｄｙ
－２　　４

　　　　１　　　　　２
＝［－――ｙ3 ＋ｙ］
　　　１２　　　　－２

　　　８　　　　　８
＝－――＋２－（――－２）
　　１２　　　　１２

　　　１６　３２　８
＝４－――＝――＝―………（答）
　　　１２　１２　３