質問＜５５９＞２００１／７／９
from=yoshi
「道のり」

ｘ軸上の動点P,Qは同時に原点Oから出発する。それからｔ秒後のP,Qの
速度をそれぞれu(m/秒),v(m/秒)とするとu=t2－3ｔ+2,ｖ=2at(aは定数)
であるという。
(1)a=1/6のとき, P,Qが出発後初めて出会うのは何秒後か。
また、それまでのＰの道のりは何ｍか。
(2)Ｐ、Ｑが出発後初めて出会う時刻をＴ＝ｔ（秒）とする。
aがいろいろな値をとって変わるとき、Ｔはいかなる範囲を取りうるか。

お返事２００１／７／１１～１２
from=武田

点Ｐの速度の式を積分して、距離の式を求めると、

ｘ＝∫（ｔ2 －３ｔ＋２）ｄｔ

　　１　　　３
　＝─ｔ3 －─ｔ2 ＋２ｔ＋Ｃ
　　３　　　２

ｔ＝０、ｘ＝０より、Ｃ＝０

　　１　　　３
ｘ＝─ｔ3 －─ｔ2 ＋２ｔ……①
　　３　　　２

点Ｑも積分して、

ｘ＝∫（２ａｔ）ｄｔ＝ａｔ2 ＋Ｃ

同様にＣ＝０

ｘ＝ａｔ2 ……②



問１
　　１　　　　　　　　１
ａ＝─のとき、②はｘ＝─ｔ2 より、
　　６　　　　　　　　６

１　　　１　　　３
─ｔ2 ＝─ｔ3 －─ｔ2 ＋２ｔ
６　　　３　　　２

６倍して、まとめると、
２ｔ3 －１０ｔ2 ＋１２ｔ＝０
ｔ3 －５ｔ2 ＋６ｔ＝０
ｔ（ｔ－２）（ｔ－３）＝０
∴ｔ＝０，２，３
出発後、ＰとＱが初めて出会うのは、２秒後……（答）

それまでのＰの道のりは、
　　１　　　３
ｘ＝─ｔ3 －─ｔ2 ＋２ｔ
　　３　　　２
の極大と極小より、
ｄｘ
──＝ｔ2 －３ｔ＋２＝０
ｄｔ
（ｔ－１）（ｔ－２）＝０
∴ｔ＝１，２
ｔ＝１のとき、
　　１　３　　　５
ｘ＝─－─＋２＝─
　　３　２　　　６
ｔ＝２のとき、
　　８　　　　　２
ｘ＝─－６＋４＝─
　　３　　　　　３

したがって、Ｐの道のりは、
５　　５　２
─＋（─－─　）＝１
６　　６　３
∴１ｍ……（答）

問２
Ｐ、Ｑが出発後初めて出会う時刻をＴ＝ｔ（秒）とする。
aがいろいろな値をとって変わるとき、Ｔが存在する範囲は、
①と②が接するところが境目だから、
　　　　１　　　３
ａｔ2 ＝─ｔ3 －─ｔ2 ＋２ｔ
　　　　３　　　２
６倍して、
２ｔ3 －（９＋６ａ）ｔ2 ＋１２ｔ＝０
ｔ｛２ｔ2 －（９＋６ａ）ｔ＋１２｝＝０
判別式Ｄ＝０より、
Ｄ＝（９＋６ａ）2 －４・２・１２＝０
３６ａ2 ＋１０８ａ－１５＝０
１２ａ2 ＋３６ａ－５＝０
ａ＞０より、
　　－９＋４√６
ａ＝──────
　　　　６

したがって、
２ｔ2 －４√６ｔ＋１２＝０
ｔ2 －２√６ｔ＋６＝０
（ｔ－√６）2 ＝０
∴ｔ＝√６

したがって、０＜Ｔ≦√６　……（答）