質問＜５４０＞２００１／６／２９
from=バナナ
「面積、定積分」

（1）放物線ｙ＝1/4ｘ＾2＋1に点（1，－1）から2つの接線を引く。
この放物線と2つの接線に囲まれる部分の面積を求めよ

　　　　　　　x
（2）f（X）＝∫（ｘ－ｔ）（ｔ－2）ｄｔを満たす関数
　　　　　　　0
ｆ（ｘ）をｘの整式で表すと、f（x）＝□であり、
ｆ’（x）＝□である。

お返事２００１／７／３
from=武田

問１

２本の接線を求めると、
　　１
ｙ＝─ｘ2 ＋１を微分して、
　　４

　　　１
ｙ′＝─ｘ
　　　２

Ａ（ａ，ｂ）とすると、
　　　　１
ｙ－ｂ＝─ａ（ｘ－ａ）
　　　　２

　　１
ｂ＝─ａ2 ＋１、点（１，－１）を通るから、
　　４

　　　１　　　　　１
－１－─ａ2 －１＝─ａ（１－ａ）
　　　４　　　　　２

両辺に４を掛けて、
－４－ａ2 －４＝２ａ（１－ａ）

ａ2 －２ａ2 ＋２ａ＋８＝０
－ａ2 ＋２ａ＋８＝０
ａ2 －２ａ－８＝０
（ａ－４）（ａ＋２）＝０
∴ａ＝４，－２
Ａ（－２，２），Ｂ（４，５）

点Ａを通る接線の方程式は
ｙ－２＝－（ｘ＋２）∴ｙ＝－ｘ

点Ｂを通る接線の方程式は
ｙ－５＝２（ｘ－４）∴ｙ＝２ｘ－３

したがって面積は、

Ｓ＝Ｓ1 ＋Ｓ2 

　　　１　　１
Ｓ1 ＝∫｛（─ｘ2 ＋１）－（－ｘ）｝ｄｘ
　　　－２　４

　　　１　　１
　　＝∫　（─ｘ2 ＋ｘ＋１）ｄｘ
　　　－２　４

　　　　　１　　　１　　　　１
　　＝［──ｘ3 ＋─ｘ2 ＋ｘ］
　　　　１２　　　２　　　　－２

　　　　１　１　　　－８　　＝──＋─＋１－──＋２－２
　　　１２　２　　　１２

　　　　９　　６　１２
　　＝──＋──＋──
　　　１２　１２　１２

　　　２７
　　＝──
　　　１２

　　　４　　１
Ｓ2 ＝∫｛（─ｘ2 ＋１）－（２ｘ－３）｝ｄｘ
　　　１　　４

　　　４　　１
　　＝∫　（─ｘ2 －２ｘ＋４）ｄｘ
　　　１　　４

　　　　　１　　　　　　　　４
　　＝［──ｘ3 －ｘ2 ＋４ｘ］
　　　　１２　　　　　　　　１

　　　６４　　　　　　　　１
　　＝──－１６＋１６－──＋１－４
　　　１２　　　　　　　１２

　　　６４　　１　３６
　　＝──－──－──
　　　１２　１２　１２

　　　２７
　　＝──
　　　１２

したがって、
　　２７　２７　２７　９
Ｓ＝──＋──＝──＝─　……（答）
　　１２　１２　　６　２

問２
　　　　　ｘ
ｆ（ｘ）＝∫（ｘ－ｔ）（ｔ－２）ｄｔ
　　　　　０

　　　　　ｘ
　　　　＝∫（ｘｔ－２ｘ－ｔ2 ＋２ｔ）ｄｔ
　　　　　０

　　　　　　ｘｔ2 　　　　　１　　　　　ｘ
　　　　＝［───－２ｘｔ－─ｔ3 ＋ｔ2 ］
　　　　　　　２　　　　　　３　　　　　０

　　　　　ｘ3 　　　　　ｘ3 
　　　　＝──－２ｘ2 －──＋ｘ2 
　　　　　２　　　　　　３

　　　　　１
　　　　＝─ｘ3 －ｘ2 ……（答）
　　　　　６

　　　　　　１
ｆ′（ｘ）＝─ｘ2 －２ｘ……（答）
　　　　　　２