質問＜５２６＞２００１／６／２４
from=バナナ
「場合の数、面積、ベクトル」

問１
URBANの5文字を並べる時、AがBより左にあり、かつBがUより左にある
ような並べ方は何通りあるか？

問２
2つの関数ｆ（ｘ）=2ｘ＾2-3ｘ-5、ｇ（ｘ）=｜ｘ＾2-ｘ-2｜がある。
（1）2つの曲線ｙ=ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）の交点の座標を求めよ。
（2）2つの曲線ｙ=ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）で囲まれた部分の面積を求めよ。

問３
放物線ｙ=ｘ＾2+2ｘ+2と放物線ｙ=ｘ＾2-4ｘ+17の共通接線をＬとする。
（1）Ｌの方程式を求めよ。
（2）Ｌと2つの放物線との接点の座標を求めよ。
（3）Ｌと2つの放物線とで囲まれる部分の面積を求めよ。

問４
ＡＢ=4　ＢＣ=3　ＡＣ=2の三角形ＡＢＣについて、∠Ａの2等分線が
辺ＢＣと交わる点をＤ、∠Ｂの2等分線が線分ＡＤと
交わる点をＩとする。
（1）ベクトルＡＤをＡＢ、ＡＣで表せ。
（2）ベクトルＡＩをＡＢ、ＡＣで表せ。

お返事２００１／６／２５
from=武田

問１

ＡＢＵの間のどこかに２つ（ＲとＮ）が入る場合
４通り×前後２通り＝８通り
ＡＢＵの間に１つずつＲとＮが入る場合
4 Ｐ2 ＝４×３＝１２通り

したがって、
８＋１２＝２０通り……（答）

問２

２ｘ2 －３ｘ－５＝ｘ2 －ｘ－２
ｘ2 －２ｘ－３＝０
（ｘ－３）（ｘ＋１）＝０
∴ｘ＝３，－１
ｆ（３）＝２・９－３・３－５＝４
したがって、
交点は（－１，０）と（３，４）……（答）

黄色の面積は定積分より、
　　　２
Ｓ1 ＝∫　｛（－ｘ2 ＋ｘ＋２）－（２ｘ2 －３ｘ－５）｝ｄｘ
　　　－１　　＝１８

　　　３
Ｓ2 ＝∫　｛（ｘ2 －ｘ－２）－（２ｘ2 －３ｘ－５）｝ｄｘ
　　　２

　　　５
　　＝─
　　　３

したがって、
　　　　　　　　　　　５　５９
Ｓ＝Ｓ1 ＋Ｓ2 ＝１８＋─＝──……（答）
　　　　　　　　　　　３　　３

問３

ｙ＝ｘ2 ＋２ｘ＋２＝（ｘ＋１）2 ＋１
ｙ＝ｘ2 －４ｘ＋１７＝（ｘ－２）2 ＋１３

共通接線の直線Ｌを、ｙ＝ａｘ＋ｂとすると、

ｘ2 ＋２ｘ＋２＝ａｘ＋ｂより、
ｘ2 ＋（２－ａ）ｘ＋（２－ｂ）＝０
接するから判別式Ｄ＝０より、
Ｄ＝（２－ａ）2 －４（２－ｂ）＝０……①

ｘ2 －４ｘ＋１７＝ａｘ＋ｂより、
ｘ2 －（４＋ａ）ｘ＋（１７－ｂ）＝０
接するから判別式Ｄ＝０より、
Ｄ＝（４＋ａ）2 －４（１７－ｂ）＝０……②

①－②より、
（２－ａ）2 －（４＋ａ）2 －８＋６８＝０
∴ａ＝４
４－４（２－ｂ）＝０
∴ｂ＝１
直線Ｌの方程式は、ｙ＝４ｘ＋１……（答）
接点Ａは
ｘ2 ＋２ｘ＋２＝４ｘ＋１より、
ｘ2 －２ｘ＋１＝０
（ｘ－１）2 ＝０
∴ｘ＝１
ｙ＝４・１＋１＝５
Ａ（１，５）……（答）

接点Ｂは
ｘ2 －４ｘ＋１７＝４ｘ＋１より、
ｘ2 －８ｘ＋１６＝０
（ｘ－４）2 ＝０
∴ｘ＝４
ｙ＝４・４＋１＝１７
Ｂ（４，１７）……（答）

２つの放物線の交点は
ｘ2 ＋２ｘ＋２＝ｘ2 －４ｘ＋１７
６ｘ＝１５

　　　５
∴ｘ＝─
　　　２

　　　5/2
Ｓ1 ＝∫　｛（ｘ2 ＋２ｘ＋２）－（４ｘ＋１）｝ｄｘ
　　　１

　　　１２５　２５　５　１　　　　　１２５－１５０＋６０－８
　　＝───－──＋─－─＋１－１＝────────────
　　　　２４　　４　２　３　　　　　　　　　　２４

　　　　２７　　　９
　　＝────＝───
　　　　２４　　　８

　　　４
Ｓ2 ＝∫　｛（ｘ2 －４ｘ＋１７）－（４ｘ＋１）｝ｄｘ
　　　5/2

　　　６４　　　　　　　１２５　　　　　　　３８７
　　＝──－６４＋６４－───＋２５－４０＝───－１５
　　　　３　　　　　　　　２４　　　　　　　　２４

　　　　２７　　　９　　＝────＝───
　　　　２４　　　８

したがって、
　　　　　　　　９　９　９
Ｓ＝Ｓ1 ＋Ｓ2 ＝─＋─＝─……（答）
　　　　　　　　８　８　４

問４

三角形の∠Ａの二等分線と対辺ＢＣが交わる点Ｄは
辺ＢＣをＡＢ：ＡＣに内分するから、
ＢＤ：ＤＣ＝４：２より、

　　　　　─→　　　─→
─→　２・ＡＢ＋４・ＡＣ　１　─→　２　─→
ＡＤ＝─────────＝─・ＡＢ＋─・ＡＣ……（答）
　　　　　　４＋２　　　　３　　　　３

　　　　　４
ＢＤ＝３×─＝２
　　　　　６

ＡＩ：ＩＤ＝４：２より、

─→　４　─→　２　　１　─→　２　─→
ＡＩ＝─・ＡＤ＝─・（─・ＡＢ＋─・ＡＣ）
　　　６　　　　３　　３　　　　３

　　　２　─→　４　─→
　　＝─・ＡＢ＋─・ＡＣ……（答）
　　　９　　　　９