質問

2次不等式の基本的な事から全くわかりません。教えて下さい。

お返事９８／９／２０
from=武田

不等式を、関数のグラフと関連づけながら説明しましょう。
併せて式変形の方も付記します。

①一次関数と一次不等式の場合

「一次不等式２ｘ＋４＞０を解け。」

＜関数のグラフとの関連＞
　　　２ｘ＋４＞０は、一次関数ｙ＝２ｘ＋４のグラフの
　　　ｙ＞０にあたる。

　　　図より、＋の部分は、ｘ＞－２のとき
　　　したがって、（答）ｘ＞－２

＜式変形＞
　　　２ｘ＋４＞０
　　　両辺に（－４）を加えると、
　　　２ｘ＋４＋（－４）＞０＋（－４）
　　　２ｘ＞－４……移項したと見る。
　　　両辺を２で割ると、
　　　（２ｘ）／２＞（－４）／２
　　　（答）ｘ＞－２……ｘの係数の２で割ると見る。

②二次関数と二次不等式の場合

「二次不等式ｘ²＋２ｘ－３＞０を解け。」

＜関数のグラフとの関連＞
　　　二次方程式ｘ²＋２ｘ－３＝０を解く。
　　　ｘ＝－３，１
　　　ｘ²＋２ｘ－３＞０は、
　　　二次関数ｙ＝ｘ²＋２ｘ－３のグラフの
　　　ｙ＞０にあたる。

　　　図より、＋の部分は、ｘ＜－３または１＜ｘのとき
　　　したがって、（答）ｘ＜－３または１＜ｘ

＜式変形＞
　　　ｘ²＋２ｘ－３＞０を因数分解して、
　　　（ｘ＋３）（ｘ－１）＞０
　　　(i) ｘ＋３＞０かつｘ－１＞０のとき
　　　　　ｘ＞－３かつｘ＞１
　　　　　したがって、ｘ＞１
　　　(ii)ｘ＋３＜０かつｘ－１＜０のとき
　　　　　ｘ＜－３かつｘ＜１
　　　　　したがって、ｘ＜－３
　　　(i)(ii)より、（答）ｘ＜－３またはｘ＞１

「二次不等式ｘ²＋２ｘ＋３＞０を解け。」

＜関数のグラフとの関連＞
　　　二次方程式ｘ²＋２ｘ＋３＝０を解く。
　　　判別式Ｄ＝４－１２＝－８＜０より、
　　　解なし
　　　ｘ²＋２ｘ＋３＞０は、
　　　二次関数ｙ＝ｘ²＋２ｘ＋３のグラフの
　　　ｙ＞０にあたる。

　　　図より、＋の部分は、ｘのすべての数のとき
　　　したがって、（答）ｘはすべての数

＜式変形＞
　　　ｘ²＋２ｘ＋３＞０を平方完成して、
　　　（ｘ＋１）²＋２＞０
　　　（ｘ＋１）²≧０
　　　（答）ｘはすべての数

「二次不等式ｘ²＋２ｘ＋１≦０を解け。」

＜関数のグラフとの関連＞
　　　二次方程式ｘ²＋２ｘ＋１＝０を解く。
　　　（ｘ＋１）²＝０
　　　ｘ＝－１（重解）
　　　ｘ²＋２ｘ＋１≦０は、
　　　二次関数ｙ＝ｘ²＋２ｘ＋１のグラフの
　　　ｙ≦０にあたる。

　　　図より、－の部分または０の部分は、ｘ＝－１のみ
　　　したがって、（答）ｘ＝－１

＜式変形＞
　　　ｘ²＋２ｘ＋１≦０を因数分解して、
　　　（ｘ＋１）²≦０
　　　（ｘ＋１）²＜０は、解なし
　　　（ｘ＋１）²＝０は、ｘ＝－１
　　　（答）ｘ＝－１

お便り９８／１０／８
from=yuki

>不等式を、関数のグラフと関連づけながら説明
>しましょう。併せて式変形の方も付記します。

ちょっと待って下さい。私はいつもこの手の解説を見て思う
のですが、関数・グラフ・方程式・不等式をはじめからごち
ゃまぜにして考えるのは大きな混乱を生じて良くないと思い
ます。

何を言いたいかといいますと、不等式を見た瞬間にそれをも
とに、意味も分からずに関数のグラフを書き出して、なんと
なく図的に解いてしまって、その本質を見失う人が大勢出て
くる可能性があるということです。

不等式は、単純に
「実数の間の大小関係を表す式」
と教えるほうがわかりやすいと思います。というのは、xは未
知“数”だと教えています。xを2倍したものもやはり数です。
そこに4を足して2x+4としてももやはりなんらかの“数”です。

ですから、
            2x+4 > 0
というのは、"2x+4"というある数が0よりも大きいのだという
ことを意味しているに過ぎません。ですから、不等式の問題
は、「この大小関係を満たすxをすべて求めなさい」というこ
とになります。

すると、大小関係では、
a > b　ならば a+c > a+c　（c：定数）
（同じ数を足しても、その大小関係は変わらない）が成り立
ちますから、上の式で、-4という数を足して
　　　　　2x > -4
を得ます。

さらに、不等式では、
a > b 　ならば　ca > cb　（c：正の定数）
　　　　　　　　ca < cb　（c：負の定数）
が成り立ちますので、両辺に1/2をかけて、
　　　　　x > -2
という大小関係を得ます。すなわち、「未知数xは、-2よりも
大きい任意の実数であればよい」ことになります（これが答
えを意味します）。

つまり、小学校などで習った、あるいは日常的にもよく理解
できる大小関係（順序関係かもしれない）だけを使って、問
題の意味を解きほぐすと、関数もグラフも使わない（つまり
解析的な解法ではない）、ごく単純な代数的な解法に還元で
きます。

もし、１次不等式がはじめて出てくるのならば、一度に色々
なことを教えずに、単純に説明を還元するとよりわかりやす
くなると思います。いまの高校数学は知識をまんべんなく伝
えようとするあまりに、教科書の構成が複雑になりすぎるき
らいがあります。

関数やグラフについての知識がきちんとある人にとっては、
説明にあるような方法では、ほとんど自明（のような気がす
るだけかもしれない）ですが、そうでない人には周辺知識を
なるべく減らすように説明すべきではないでしょうか。

ちなみに、鈴木君に説明しておきますと、1次不等式というの
は、未知数xが1次（最高で1乗のものしかない）からです。
x^2（xの２乗）が最高の“次数”として含まれている不等式
なら、2次不等式といいます。

なお、ついでにあと一言だけ言っておきますと、不等式の説
明の不味さゆえに
　　　　　5 ≧ 3
が「正しい不等式」であると信じられない学生が多いようで
す。
上の不等式は「5は3より大きいか等しい（どちらか１つ成り
立てば正しい）」です。5は3より大きいですから、確かに正
しいのです。ですから、
　　　　　5 > 3　または 5 = 3
　　　　　（のどちらかが成り立てば正しい）
と言っているのを１つの記号にしてしまって、簡略化してい
るだけです。このことを注意して教えない先生は多いと思い
ます。

同じ事は、
　　　　　x≧3
にもいえます。これは、「xは3よりも大きいか等しいような
数」です。そのような条件を満たせばなんでもよいのです。
ですから、xは100でも4.0550001でも3でも良いのです。その
ような「数・たくさん」が、xそのものです。

ですが、「数・たくさん」は全部書ききれないので、上のよ
うな不等式で言い換えることができます。ですから、不等式
の解はやっぱり不等式で“表される未知数ぜんぶ”になるの
です。

なぜかしらん、x≧3は 集合 X={x∈R | x≧3} の略形式だと
大学で教わった方は多いはずなのですが、、、

以上