質問＜５０４＞２００１／６／５
from=キヨ
「数列」

初めまして２次数で戸惑ったとので調べてたらいいとこあったので
質問します。どーしてもわかりません。おしえてください

（１）     １             １                1
         ーーー   -  ーーーーーー    と ーーーーー   
         n二乗       （n＋1)二乗        （n＋１）三乗

の大小比較

（２）n  １             １
     Σ  ー    ＜  ２-ーーー　　を数学的帰納法で説明せよ
   r＝１ r三乗 ＝      n三乗

お返事２００１／６／５
from=武田

問１
与式＝左辺－右辺

　１　　　　１　　　　　　１
＝──－──────－──────
　ｎ2 　（ｎ＋１）2 　（ｎ＋１）3 

　（ｎ＋１）3 －ｎ2 （ｎ＋１）－ｎ2 
＝─────────────────
　　　　　ｎ2 （ｎ＋１）3 

　ｎ3 ＋３ｎ2 ＋３ｎ＋１－ｎ3 －ｎ2 －ｎ2 
＝────────────────────
　　　　　　ｎ2 （ｎ＋１）3 

　ｎ2 ＋３ｎ＋１
＝────────
　ｎ2 （ｎ＋１）3 

ｎは自然数より、
与式＝左辺－右辺＞０
∴左辺＞右辺

問２
ｎ　　１　　　　　　　１
Σ　───　≦　２－───
r=1　ｒ3 　　　　　　ｎ3 
　　　　　　１
右辺は２－──　の間違えではありませんか？
　　　　　ｎ2 

問１の
１　　　　１　　　　　　１
──－──────＞──────
ｎ2 　（ｎ＋１）2 　（ｎ＋１）3 
に、ｎ＝１からｎ－１まで代入したのを縦に書いて、すべて加えると、

１　　１　　　１
──－──＞──
１2 　２2 　　２3 

１　　１　　　１
──－──＞──
２2 　３2 　　３3 

………………

　１　　１　　　１
───－──＞──
(n-1)2 　ｎ2 　　ｎ3 

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（＋

１　　１　　　１　　１　　　　　１
──－──＞──＋──＋……＋──
１2 　ｎ2 　　２3 　　３3 　　　　ｎ3 

両辺に１を加えて、
　　　１　ｎ　　１
２－──＞Σ　───
　　ｎ2 　r=1　ｒ3 

ｎ＝１のとき、左辺＝２－１＝１
　　　　　　　右辺＝１
より、
　　　１　ｎ　　１
２－──≧Σ　───
　　ｎ2 　r=1　ｒ3