質問＜５０１＞２００１／６／１
from=３年１０組１２番
「極限／はさみうちの定理」

関数ｙ=ｆ(x）=ｘ^2－２で示される曲線上の点
(Xｎ、f(Xｎ））における接線とｘ軸との交点の
ｘ座標をXｎ+1とする(ｎ=1,2，・・・）。
このようにして得られる数列{Xｎ}について、
つぎの問いに答えよ。

(1)Xｎ+1をXｎを用いて表せ。

(2）Xｎ＞０で、Xｎ≠√2ならばXｎ+1＞√2であることを
　　しめせ。

(3）X1＞０で、X1≠√2ならば、ｎ≧２のとき、
　　Xｎ+１－√2＜1/2（Xｎ－√2）であることをしめせ。

(4）X1＞０で、X1≠√2ならば、数列{Xｎ｝は、
　　ｎ≧２のとき単調減少で、√2に収束することを
　　しめせ。

お返事２００１／６／３
from=武田

問１

ニュートンの近似法より、
　　　　　　　ｆ（ｘn ）
ｘn+1 ＝ｘn －──────
　　　　　　　ｆ′（ｘn ）

　　　　　　　ｘn 2 －２
　　　＝ｘn －─────
　　　　　　　　２ｘn 

　　　　ｘn 2 ＋２
　　　＝─────
　　　　　２ｘn 

問２
与式＝左辺－右辺
　　＝ｘn+1 －√２

　　　　ｘn 2 ＋２
　　　＝─────－√２
　　　　　２ｘn 

　　　　ｘn 2 ＋２－２√２ｘn 
　　　＝───────────
　　　　　　　２ｘn 

　　　　（ｘn －√２）2 
　　　＝────────
　　　　　　２ｘn 

条件より
ｘn ＞０、ｘn ≠√２より、
与式＞０
∴ｘn+1 ＞√２

問３
　　　　　　　　　　　（ｘn －√２）2 
　　　　　　　　　　　────────
　　　ｘn+1 －√２　　　　２ｘn 
与式＝──────＝──────────
　　　ｘn －√２　　　　ｘn －√２

　　　ｘn －√２　１　　　√２
　　＝─────＝─（１－──）
　　　　２ｘn 　　２　　　ｘn 

条件より、
ｘ1 ≠√２、ｘn ＞√２（ｎ≧２）より、
　　√２
０＜──＜１
　　ｘn 
　　　１　　　√２　　１
与式＝─（１－──）＜─
　　　２　　　ｘ　　　２
したがって、
　　　ｘn+1 －√２　　１
与式＝──────＜──
　　　ｘn －√２　　　２

　　　　　　　　１
∴ｘn+1 －√２＜─（ｘn －√２）
　　　　　　　　２

問４
　　　　　　　　　１
０＜ｘn+1 －√２＜─（ｘn －√２）
　　　　　　　　　２

　　　　　　１
　＜……＜（─）n （ｘ1 －√２）
　　　　　　２

　　１
０＜─＜１より、
　　２
　　　　１
ｌｉｍ（─）n ＝０だから、
ｎ→∞　２

ｌｉｍ　（ｘn+1 －√２）＝０
ｎ→∞

∴ｌｉｍ　ｘn ＝√２
　ｎ→∞