質問＜４９１＞２００１／５／２５
from=ミナ
「２つの円と直線」

２つの円、ｘ＾２＋ｙ＾２＝ａ＾２、ｘ＾２＋ｙ＾２－４ｘ－２ｂｙ＋４＝０が外接しているとき、
２円の接点における共有接線のｙ切片が５／３となるような、ａ，ｂの値を
求めよ。ただし、ａ＞０、ｂ＞０とする。

って問題なんですけど…。
それぞれの中心と半径だすとこまではわかったんですけど…。？？？
よろしくお願いします。

お返事２００１／５／２６
from=武田

ｘ2 ＋ｙ2 ＝ａ2 
原点が中心、半径ａの円……①

ｘ2 ＋ｙ2 －４ｘ－２ｂｙ＋４＝０
（ｘ2 －４ｘ＋４）－４＋（ｙ2 －２ｂｙ＋ｂ2 ）－ｂ2 ＋４＝０
（ｘ－２）2 ＋（ｙ－ｂ）2 ＝ｂ2 
中心（２，ｂ）半径ｂの円……②



ｂ＞０、直線ＯＯ’は、傾きｂ／２で原点を通から
　　ｂ
ｙ＝─ｘ……③
　　２

①と③が交わるから、交点の座標を求めると、
　　　　ｂ
ｘ2 ＋（─ｘ）2 ＝ａ2 
　　　　２

４＋ｂ2 
────ｘ2 ＝ａ2 
　４

交点は第１象限だから、ｘ座標もｙ座標も正だから
　　　　２ａ
ｘ＝───────
　　√（４＋ｂ2 ）

　　ｂ　　　２ａ　　　　　　ａｂ
ｙ＝─・───────＝───────
　　２　√（４＋ｂ2 ）　√（４＋ｂ2 ）

共通接線は、直線ＯＯ’と直交するから、
傾きは、ｍ・ｂ／２＝－１より、
　　　　２
∴ｍ＝－─
　　　　ｂ

したがって、共通接線の方程式は
　　　　ａｂ　　　　　２　　　　　２ａ
ｙ－───────＝－─｛ｘ－───────｝
　　√（４＋ｂ2 ）　　ｂ　　　√（４＋ｂ2 ）

ｙ切片は、ｘ＝０だから
　　　　ａｂ　　　　　２　　　　　２ａ
ｙ－───────＝－─｛０－───────｝
　　√（４＋ｂ2 ）　　ｂ　　　√（４＋ｂ2 ）

　　　　４ａ　　　　　　　ａｂ
ｙ＝────────＋───────
　　ｂ√（４＋ｂ2 ）　√（４＋ｂ2 ）

　　　４ａ
　　　──＋ａｂ
　　　　ｂ
　＝────────
　　√（４＋ｂ2 ）

　　５
　＝─（問題より）
　　３

分母と分子を連立して、
｛４ａ
｛──＋ａｂ＝５……④
｛　ｂ
｛
｛√（４＋ｂ2 ）＝３……⑤

⑤を２乗して、
４＋ｂ2 ＝９
ｂ2 ＝５
ｂ＞０より、
∴ｂ＝√５　……（答）

④に代入して、
４ａ
──＋ａ√５＝５
√５

両辺に√５を掛けて、
４ａ＋５ａ＝５√５
９ａ＝５√５
　　　５√５
∴ａ＝───　……（答）
　　　　９