質問＜４８８＞２００１／５／２４
from=肉丸
「二項定理の応用？」

以下の関係式の証明方法がわかりません。
数学的帰納法で証明できるようなのですが．．．

  n
  Σ[nＣk][(-1)^k]/[k+x] = n!/[x(x+1)…(x+n)]
  k=0

ちなみに、(1-1)^n を展開して

  0 = Σ[nＣk][(-1)^k] =  Σ[nＣk][(-1)^k]*k/[k+x]
      k                   k

                        + Σ[nＣk][(-1)^k]*x/[k+x]
                          k

としたのですが、ここから先へ進めません。
どなたか、アドバイスのほど、よろしくお願いいたします。

お返事２００１／５／２５
from=武田

数学的帰納法で証明してみよう。
（１）ｎ＝１のとき
　　　　　　　１
　　　　左辺＝Σ[１Ｃk][(-1)^k]/[k+x]
　　　　　　　k=0

　　　　　　　１　　１　　１＋ｘ－ｘ　　　　１
　　　　　　＝─－───＝──────＝──────
　　　　　　　ｘ　１＋ｘ　ｘ（１＋ｘ）　ｘ（１＋ｘ）

　　　　右辺＝１!/[x(x+1)]

　　　　　　　　　１
　　　　　　＝──────
　　　　　　　ｘ（ｘ＋１）

　　　　したがって、左辺＝右辺

（２）ｎ＝ｐのとき成り立つと仮定して、
　　　　ｐ
　　　　Σ[ｐＣk][(-1)^k]/[k+x] = ｐ!/[x(x+1)…(x+ｐ)]
　　　　k=0

　　　ｎ＝ｐ＋１のとき
　　　　　　　p+1
　　　　左辺＝Σ　[p+1Ｃk][(-1)^k]/[k+x]
　　　　　　　k=0

　　　　　　　p+1　　（ｐ＋１）！
　　　　　　＝Σ　───────────[(-1)^k]/[k+x]
　　　　　　　k=0　ｋ！（ｐ＋１－ｋ）！

　　　　　　　p　　　　（ｐ＋１）・ｐ！
　　　　　　＝Σ　─────────────────[(-1)^k]/[k+x]＋（－１）p+1 ／（ｐ＋１＋ｘ）
　　　　　　　k=0　（ｐ＋１－ｋ）・ｋ！（ｐ－ｋ）！

　　　　　　　p　　　（ｐ＋１）
　　　　　　＝Σ　───────・ｐＣｋ・[(-1)^k]/[k+x]＋（－１）p+1 ／（ｐ＋１＋ｘ）
　　　　　　　k=0　（ｐ＋１－ｋ）

※こっから先に進まない。誰かアドバイスを！！
　ｄ３さんからアドバイスを頂きました。助かりました。感謝！！

お便り２００１／６／１６
from=d3

まず，n=1 では成り立っています．
　次にn≧1 で成り立っているとします．すなわち，
    n
   Σ[nＣk][(-1)^k]/[k+x] = n!/[x(x+1)…(x+n)]      ・・・＃
   k=0
　が成り立つとします．  
　ここで，
   n+1Ｃk = nＣk + nＣk-1 です． いま，nＣn+1= nＣ-1=0 として，
   n+1
   Σ[n+1Ｃk][(-1)^k]/[k+x]  
   k=0
   n+1
  = Σ{[nＣk]+[nＣk-1]}[(-1)^k]/[k+x]
   k=0
   n+1                       n+1
  = Σ[nＣk][(-1)^k]/[k+x] + Σ[nＣk-1][(-1)^k]/[k+x]
   k=0                       k=0
    n                        n
  = Σ[nＣk][(-1)^k]/[k+x] + Σ[nＣk][(-1)^(m+1)]/[m+1+x]
   k=0                       m=0
 （nＣn+1= nＣ-1=0で，m=k-1 としました）
    n                         n
  = Σ[nＣk][(-1)^k]/[k+x] －Σ[nＣk][(-1)^m]/[m+(1+x)]
   k=0                       m=0
  = n!/[x(x+1)…(x+n)] － n!/[(x+1)…(x+n)(x+n+1)]  
    （＃から，後ろは，m　とx　は関係ないので，）
  = n!/[(x+1)…(x+n)]｛1/x－1/(x+n+1)｝  
  = n!/[(x+1)…(x+n)]｛(n+1)/x(x+n+1)｝  
  = (n+1)!/[x(x+1)…(x+n)(x+n+1)]  
　これは，n+1 のときも成り立っているコトを示しています．
　コレでよろしいのでは？