質問＜４４７＞２００１／４／７
from=aef
「積分」

よろしくお願い致します

f(x)は次数が1以上の整式とする。ある定数Cに対して、 
等式∫[-x→x]{f(t+1)-f(t)}dt =cf(x)が任意の実数xで成立していると
する。 

(1)f(x)の次数が3以下のとき、cおよびf(x)を求めよ 

(2)cおよびf(x)を求めよ

お返事２００１／４／８
from=武田

問１
ｆ（ｘ）を３次式とすると、
ｆ（ｘ）＝ａ0 ＋ａ1 ｘ＋ａ2 ｘ2 ＋ａ3 ｘ3 
　　ｆ（ｔ＋１）＝ａ0 ＋ａ1 （ｔ＋１）＋ａ2 （ｔ＋１）2 ＋ａ3 （ｔ＋１）3 
－）ｆ（ｔ）＝ａ0 ＋ａ1 ｔ＋ａ2 ｔ2 ＋ａ3 ｔ3 
　────────────────────────────────
ｆ（ｔ＋１）－ｆ（ｔ）＝ａ1 ＋ａ2 （２ｔ＋１）＋ａ3 （３ｔ2 ＋３ｔ＋１）
　　＝３ａ3 ｔ2 ＋（３ａ3 ＋２ａ2 ）ｔ＋（ａ3 ＋ａ2 ＋ａ1 ）

積分して、
［ａ3 ｔ3 ＋（３ａ3 ＋２ａ2 ）ｔ2 ／２＋（ａ3 ＋ａ2 ＋ａ1 ）ｔ］

－ｘ～ｘまでより、ｔ3 ─→２ｘ3 、ｔ2 ─→０、ｔ─→２ｘ

左辺＝２ａ3 ｘ3 ＋２（ａ3 ＋ａ2 ＋ａ1 ）ｘ

これが右辺＝ｃｆ（ｘ）となるのだから、
右辺＝ｃａ0 ＋ｃａ1 ｘ＋ｃａ2 ｘ2 ＋ｃａ3 ｘ3 

左辺と右辺を見比べて、
ｃａ3 ＝２ａ3 ……①
ｃａ2 ＝０……②
ｃａ1 ＝２（ａ3 ＋ａ2 ＋ａ1 ）……③
ｃａ0 ＝０……④

①より、ｃ＝２……（答）

②④より、ａ2 ＝０、ａ0 ＝０

③より、２ａ1 ＝２（ａ3 ＋ａ1 ）
ａ3 ＝０、ａ1 ＝ｂ（任意）

したがって、
ｆ（ｘ）＝ｂｘ……（答）

問２
ｆ（ｘ）がｎ次式の時については、二項定理
（ｔ＋１）n －ｔn ＝n Ｃ1 ｔn-1＋……＋n Ｃn 
を使って解くのだろうか？
これはちょっと大変ですね。どなたかアドバイスを！！

※未解決問題に移したところ、Ｔ．Ｋさんと星野さんからアドバイスを
いただきました。感謝！！

お便り２００１／４／８
from=Ｔ．Ｋ

武田先生こんにちは。
aefさんの未解決問題についてですが
↓のような考え方はできないでしょうか?
自分もまだ解いていないので間違っているかもしれませんが・・・

f(x) が奇関数であることはすぐ分かる。 

（１）は、f(x)=Ax^3+Bx と置いて計算すればよい。 

（２）は、次数が３より大きい解があるとして、 
f(x)=Ax^(2n+1)+Bx^(2n-1)+..... 
と置いて計算してみればよい(A≠0,n≧2)。 
x^(2n+1) と x^(2n-1) の係数を考えるだけで、あり得ないと分かる。

お便り２００１／９／５
from=星野敏司

T.K. 氏の
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f(x) が奇関数であることはすぐ分かる。 

（１）は、f(x)=Ax^3+Bx と置いて計算すればよい。 

（２）は、次数が３より大きい解があるとして、 
f(x)=Ax^(2n+1)+Bx^(2n-1)+..... 
と置いて計算してみればよい(A≠0,n≧2)。 
x^(2n+1) と x^(2n-1) の係数を考えるだけで、あり得ないと分かる。
------------------------------------
という方針で良いと思われる。
面倒だから省略するが, 上記のように置くと
∫_(-x)^x (f(t+1) - f(t))dt
= 2Ax^(2n+1) + (2n(2n+1)A/3 + 2B)x^(2n-1) + …
となるから, 最高次の係数を比較して c = 2 が出る。
2n-1 次の係数を比較すると
2n(2n+1)A/3 + 2B = 2B.
従って A = 0 又は n = 0.
つまり仮定 A ≠ 0 より n = 0 でなければならない。
すなわち次数が最初から 2×0 + 1 = 1 次しかあり得なかったのであった。