質問＜４３７＞２００１／３／２９
from=ＧＦ
「ドーナツの表面積を積分で」

ドーナツの表面積を、積分にて求めたいのですが、どうやればいいのか
教えて頂けないでしょうか。

具体的には、円形断面を環状に回した物をドーナツとすると、その一部
の弧を環状に回したものの面積を知りたいのです。

どうかよろしくお願い致します。

お返事２００１／３／３０
from=武田

【解法１・積分でやる方法】

中心（０，ｂ）半径ａの円を描くと
ただし、０＜ａ＜ｂ
ｘ2 ＋（ｙ－ｂ）2 ＝ａ2 
となる。この円をｘ軸のまわりに回転させると、ドーナツ形になる。
この形を、正確にはトーラスという。

変形して、
ｙ＝ｂ±√（ａ2 －ｘ2 ）

＝回転体の表面積の公式＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
グラフｙ＝ｆ（ｘ）を、ａ≦ｘ≦ｂの範囲でｘ軸のまわりに回転させた
ときできる回転体の表面積Ｓは、
　　　　ｂ
Ｓ＝２π∫ｙ√（１＋ｙ′2 ）ｄｘ
　　　　ａ
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

微分して
　　　　　　　－２ｘ
ｙ′＝±─────────
　　　　２√（ａ2 －ｘ2 ）

したがって、

ｙ√（１＋ｙ′2 ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ2 
＝｛ｂ±√（ａ2 －ｘ2 ）｝｛√（１＋──────）｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ2 －ｘ2 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ
＝｛ｂ±√（ａ2 －ｘ2 ）｝｛　──────　｝
　　　　　　　　　　　　　　√（ａ2 －ｘ2 ）

　　　　　　　ｂ
＝ａ｛　───────　±１　｝
　　　　√（ａ2 －ｘ2 ）

上半分と下半分を積分して足すと、

　　　　　ａ　　　　　　ｂ
Ｓ＝２πａ∫　｛　───────　＋１　｝ｄｘ
　　　　　－ａ　　√（ａ2 －ｘ2 ）

　　　　　　　ａ　　　　　　ｂ
　　　＋２πａ∫　｛　───────　－１　｝ｄｘ
　　　　　　　－ａ　　√（ａ2 －ｘ2 ）

　　　　　ａ　　　　　　ｂ
　＝４πａ∫　｛　───────　｝ｄｘ
　　　　　－ａ　　√（ａ2 －ｘ2 ）

　　　　　　　ａ　　　　　　１
　＝４πａｂ・∫　｛　───────　｝ｄｘ
　　　　　　　－ａ　　√（ａ2 －ｘ2 ）

ｘ＝ａcosθと置換して、
ｄｘ＝－ａsinθｄθ
√（ａ2 －ｘ2 ）＝ａsinθ
ｘ｜－ａ─→ａ
────────
θ｜π　─→０

　　　　　　　０　　１
Ｓ＝４πａｂ・∫　────・（－ａsinθ）ｄθ
　　　　　　　π　ａsinθ

　　　　　　　π
　＝４πａｂ・∫　１ｄθ
　　　　　　　０

　　　　　　　　　π
　＝４πａｂ・［θ］＝４π2 ａｂ　……（答）
　　　　　　　　　０

【解法２・重心を使う方法】

半径ａの赤い円周の長さＬ＝２πａ、その円周の重心（ｂ，０）より
＿
ｘ＝ｂ
重心を引っ張って一回転させたとき赤い円周が描くトーラスの表面積Ｓは
　　　　　　　　＿
公式Ｓ＝Ｌ・２πｘ　より、

∴Ｓ＝２πａ・２πｂ＝４π2 ａｂ　……（答）