質問＜４１０＞２００１／２／２６
from=原田佳彦
「不等式の証明」

数学の問題で去年明治学院で出題された問題だそうです．不等式
の問題と思うのですが・・・教えて下さい．

問１
ｍ，ｎを正の整数とする．ｍをｎで割ったときの余りは，
ｍを２ｎで割ったときの余りよりも大きくならないことを
証明せよ．

問２
負でない４つの実数ａ，ｂ，ａ’，ｂ’が不等式
       ａ＋ルートａｂ＋ｂ＞＝１
       ａ’＋ルートａ’ｂ’＋ｂ’＞＝１
を満たすとき、０＜＝ｔ＜＝１である任意のｔに対して
       ｘ＝ｔａ＋（１－ｔ）ａ’
       ｙ＝ｔｂ＋（１－ｔ）ｂ’
とおくと、
        ｘ＋ルートｘｙ＋ｙ＞＝１
が成り立つことを示しなさい。   

忙しいとは思いますがよろしく願います。

お返事２００１／２／２７
from=武田

問１
ｍ÷ｎ＝ａ余りｂより、ｎ＞ｂ＞０
ｍ＝ｎａ＋ｂ……①

ｍ÷２ｎ＝ｃ余りｄより、２ｎ＞ｄ＞０
ｍ＝２ｎｃ＋ｄ……②

①②より、
ｎａ＋ｂ＝２ｎｃ＋ｄ
－２ｎｃ＋ｎａ＋ｂ－ｄ＝０
^^^^^^^
２ｎの合同式を考えて、
ｎａ＋ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ　２ｎ）……③

（ｉ）ａが偶数の時
　　　　ａ＝２ｅ　を③に代入すると、
　　　　ｎ（２ｅ）＋ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ　２ｎ）
　　　　２ｎｅ＋ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ　２ｎ）
　　　　^^^^^
　　　　ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ　２ｎ）
　　　　ｂ≡ｄ（ｍｏｄ　２ｎ）……④

（ｉｉ）ａが奇数の時
　　　　ａ＝２ｅ＋１　を③に代入すると、
　　　　ｎ（２ｅ＋１）＋ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ　２ｎ）
　　　　２ｎｅ＋ｎ＋ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ　２ｎ）
　　　　^^^^^
　　　　ｎ＋ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ　２ｎ）
　　　　ｎ＋ｂ≡ｄ（ｍｏｄ　２ｎ）……⑤

④⑤より、余りｂは余りｄよりは大きくはならない。……（答）


問２
３つの点Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（ａ′，ｂ′），Ｐ（ｘ，ｙ）が同じ不等式
ｘ＋√（ｘｙ）＋ｙ≧１……①
が表す領域の範囲内にあるし、

３つの点Ａ，Ｂ，Ｐの関係は、線分ＡＢを（１－ｔ）：ｔに内分する点が
Ｐとなる。

したがって、①の範囲内にある２点Ａ，Ｂを結ぶ線分ＡＢを
（１－ｔ）：ｔに内分する点Ｐが、この①の範囲内にあることを示せば
よい。

不等式①を変形すると、
相加・相乗平均
ｘ＋ｙ
───≧√（ｘｙ）
　２
より、
ｘ＋ｙ≧２√（ｘｙ）を代入すると、
左辺＝ｘ＋√（ｘｙ）＋ｙ
　　　＝ｘ＋ｙ＋√（ｘｙ）
　　　＝２√（ｘｙ）＋√（ｘｙ）
　　　＝３√（ｘｙ）≧１←右辺
両辺を２乗して、
９ｘｙ≧１

　　　　１
∴ｙ≧──　……②
　　　９ｘ

②の領域は、赤色部分のような凸領域となるので、
この領域内にある２点Ａ（ａ，ｂ）とＢ（ａ′，ｂ′）を結んだ
線分ＡＢを（１－ｔ）：ｔに内分する点Ｐ（ｘ，ｙ）は、②の領
域内にあるのは自明である。……（答）

※凸領域内の２点間の内分点がその領域に含まれることが自明で
あることの証明についてはよく分からない。「自明」とは、見て
明らかなことを言うと思う。